اسپیروگراف

اسپیروگراف (به انگلیسی: Spirograph) یا اسپیرونگار یا چرخ‌نگار یا زُرفین‌نگار که در ایران با نام دوایر جادوییِ اقلیدس شناخته می‌شود، نوعی اسباب‌بازی است که برای کشیدن اَشکال هندسیِ پدیدآمده از منحنی‌های ریاضی با روشِ درون‌چرخه‌زاد به‌کار می‌رود. اسپیروگراف اولین بار به‌دست دنیس فیشر گسترش یافت و در سال ۱۹۶۵ به بازار ارائه شد.

اسپیروگراف

پدیدآور	دنیس فیشر
شرکت	هازبرو
کشور	انگلستان
دسترس‌پذیری	۱۹۶۵–امروزه
مواد	پلاستیک
وبگاه رسمی

از واژهٔ اسپیروگراف برای نام بردن از گسترهٔ ابزارهایی که برای کشیدن چنین اشکالی به‌کار می‌روند هم استفاده می‌شود. حتی می‌تواند برای نامیدن منحنی‌های درون‌چرخه‌زاد نیز به‌کار رود. اسپیروگراف از زمان خریده شدنِ شرکت دنیس فیشر به‌دست شرکت اسباب‌بازی‌سازی هازبرو، یک نشان تجاری ثبت‌شدهٔ شرکت هازبرو است.

تاریخچه

طرح‌هایی که با اسپیروگراف (چرخ‌نگار یا دوایر جادوییِ اقلیدس) کشیده شده‌اند.

ابزاری با نام اسپیروگراف ابتدا در سال‌های ۱۸۸۱ تا ۱۹۰۰ به‌دست ریاضیدانی به نام برونو آباکانویچ برای به‌دست‌آوردن مساحت زیر منحنی ساخته شد. اسباب‌بازی‌های کشیدنِ اَشکال با چرخ‌دنده حداقل از سال ۱۹۰۸ وجود داشته‌اند؛ در این سال‌ها تبلیغات ابزاری با نام «مارولوس وندرگراف» با کارکردی مشابه در کاتالوگ فروشگاه سیرز چاپ می‌شده‌است. مجلهٔ مکانیک پسران در سال ۱۹۱۳ نوشتاری چاپ کرد که چگونگی ساخت ماشینی برای کشیدن وندرگراف را توضیح می‌دهد. اما اسپیروگرافِ امروزی به‌دست مهندس انگلیسی، دنیس فیشر، گسترش یافته و اولین بار در سال ۱۹۶۵ در نمایشگاه بین‌المللی اسباب‌بازی نورنبرگ نمایش داده شد. پس از آن، در شرکت خودِ او ساخته شد و امتیاز پخش آن به شرکت اسباب‌بازی کنر داده شد که در سال ۱۹۶۶ فروش آن را در آمریکا با تبلیغ اسباب‌بازی نوآورانهٔ کودکان شروع کرد.

در سال ۱۹۶۸، «کنر» اسباب‌بازی «اسپیروتات» را ساخت که نسخه‌ای ساده‌شده از اسپیروگراف برای کودکانِ پیش از دبستان بود.

کارکرد

اسپیروگراف شامل قطعاتی است که معمولاً آن‌ها را با پلاستیک می‌سازند و به‌صورت دایرهای یا دایره‌های بزرگ توخالی، مثلثی، میلهای و غیره هستند. در اطراف همهٔ آن‌ها دندانههایی وجود دارد که باعث می‌شود در داخل یا محیط دایره‌های بزرگ بتوان آن‌ها را چرخاند. در داخل قطعات معمولاً سوراخ‌هایی وجود دارد که محل قرار گرفتن نوک قلم است و اَشکال مختلف از آن‌ها ایجاد می‌شود.

پایهٔ ریاضی

دایرهٔ ثابت $C_{1}$ با شعاع $R$ را در نظر بگیرید. دایرهٔ کوچک‌تر $C_{2}$ با شعاع $r<R$ در داخل دایرهٔ اول به‌صورت مماس بر آن می‌گردد. فرض کنید که نقطهٔ $A$ در داخل دایرهٔ کوچک‌تر در فاصلهٔ $\rho <r$ از مرکز آن قرار گرفته‌باشد. فرض می‌کنیم که نقطهٔ $A$ ابتدا بر محور Xها بوده‌است. طرح حاصل از اسپیروگراف از خط سیر نقطهٔ $A$ در داخل دایرهٔ بزرگ به‌دست می‌آید.

حال دو نقطه را در نظر بگیرید. نقطهٔ $T$ بر دایرهٔ $C_{1}$ نقطه‌ای است که دو دایره همیشه با هم در آن در تماس هستند. نقطهٔ $B$ بر دایرهٔ $C_{2}$ جابجا می‌شود و محل اولیهٔ آن همان نقطهٔ $T$ است. با گرداندن $C_{2}$ به‌صورت خلاف عقربه‌های ساعت در داخل دایرهٔ $C_{1}$، دایرهٔ کوچک‌تر نسبت به مرکزِ خود به‌صورت موافق عقربه‌های ساعت می‌چرخد. فاصله‌ای را که نقطهٔ $B$ بر دایرهٔ کوچک‌تر می‌پیماید، با فاصله‌ای که نقطهٔ $T$ بر دایرهٔ بزرگ‌تر می‌پیماید برابر است.

پارامترِ $t$ را میزان زاویهٔ پیمایش‌شده توسط نقطهٔ مماس و ${\hat {t}}$ را میزان چرخش دایرهٔ $C_{2}$ در نظر می‌گیریم و ازآنجایی‌که میزان مسافت پیموده‌شده دو دایره برابر است، داریم:

$tR=(t-{\hat {t}})r$

یا:

${\hat {t}}=-{\frac {R-r}{r}}t.$

$(x_{c},y_{c})$ را مرکز دایرهٔ $C_{2}$ در دستگاه مختصات مطلق در نظر گرفته و $R-r$ شعاع مماس مرکز دایرهٔ درونی است:

${\begin{array}{rcl}x_{c}&=&(R-r)\cos t,\\y_{c}&=&(R-r)\sin t.\end{array}}$

مختصات نقطهٔ $A$ در دستگاه مختصات جدید برابرِ $({\hat {x}},{\hat {y}})$ است:

${\begin{array}{rcl}{\hat {x}}&=&\rho \cos {\hat {t}},\\{\hat {y}}&=&\rho \sin {\hat {t}}.\end{array}}$

برای به‌دست آوردن مختصات نقطهٔ تماس $A$ در دستگاه مختصات قبلی داریم:

${\begin{array}{rcrcl}x&=&{\hat {x}}+x_{c}&=&(R-r)\cos t+\rho \cos {\hat {t}},\\y&=&{\hat {y}}+y_{c}&=&(R-r)\sin t+\rho \sin {\hat {t}},\\\end{array}}$

حال، رابطهٔ بین $t$ و ${\hat {t}}$ را جای‌گذاری می‌کنیم تا مختصات نقطهٔ مماسِ $A$ را تنها براساس یک پارامترِ $t$ داشته‌باشیم:

${\begin{array}{rcrcl}x&=&{\hat {x}}+x_{c}&=&(R-r)\cos t+\rho \cos {\frac {R-r}{r}}t,\\[4pt]y&=&{\hat {y}}+y_{c}&=&(R-r)\sin t-\rho \sin {\frac {R-r}{r}}t.\\\end{array}}$

در نظر می‌گیریم که:

$l={\frac {\rho }{r}}$ و $k={\frac {r}{R}}.$

پارامترِ $0\leq l\leq 1$ نشان‌دهندهٔ میزان دوریِ $A$ از مرکز دایرهٔ درونی، و پارامترِ $0\leq k\leq 1$ نشان‌دهندهٔ میزان بزرگیِ دایرهٔ درونی نسبت به دایرهٔ بیرونی است. می‌دانیم که: ${\frac {\rho }{R}}=lk$

پس معادلات مماس را چنین به‌دست می‌آوریم:

${\begin{array}{rcl}x(t)&=&R\left[(1-k)\cos t+lk\cos {\frac {1-k}{k}}t\right],\\[4pt]y(t)&=&R\left[(1-k)\sin t-lk\sin {\frac {1-k}{k}}t\right].\\\end{array}}$

نگارخانه

• 
  محتویات یکی از بسته‌های دوایر جادوییِ اقلیدس که در ایران به‌فروش می‌رسد.
• 
  چندین طرح که با چرخ‌نگار کشیده شده‌است.
• 
  یک چرخ‌نگار که به‌صورت خط‌کش ساخته شده‌است.
• 
  یک پویانمایی (انیمیشن) از چگونگی کشیدن یک شکل زیبا با چرخ‌نگار.
• 
  یک پویانمایی از چگونگی کشیدن یک شکل با چرخ‌نگار.
• 

جستارهای وابسته

• زیروروکاری
• درون‌چرخه‌زاد

منابع

• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Spirograph». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی، بازبینی‌شده در ۲۶ اسفند ۱۳۹۱.

پیوند به بیرون

• یک نرم‌افزار اسپیروگراف برای ویندوز بایگانی‌شده در ۳ مارس ۲۰۱۳ توسط Wayback Machine