تبدیل موجک سریع

تبدیل موجک سریع الگوریتمی ریاضی برای یافتنِ تبدیل موجک یک سیگنال است. بدین منظور تصویرِ سیگنال روی هر یک از توابع موجک در زمان‌ها و مقیاس‌های مختلف محاسبه می‌گردد. به عبارت دیگر، حاصل‌ضرب داخلی سیگنال $f(t)$ با هر یک از موجک‌ها $\phi$ به شکل زیر محاسبه می‌شود:

$s_{n}^{(J)}:=2^{J}\langle f(t),\phi (2^{J}t-n)\rangle ,$

تصویر سیگنال بر فضای $V_{j}$ برابر است با:

$P_{J}[f](x):=\sum _{n\in \mathbb {Z} }s_{n}^{(J)}\,\phi (2^{J}x-n)$

تبدیل موجک گسسته

یک مرحله از تبدیل موجک با فیلترهای h و g

با داشتنِ مضارب $s^{(J)}$ با الگوریتمِ بازگشتی مضارب $s^{(J-1)}$ را با استفاده از رابطهٔ زیر می‌توان یافت:

$s_{n}^{(k)}:={\frac {1}{2}}\sum _{m=-N}^{N}a_{m}s_{2n+m}^{(k+1)}$

یا:

$s^{(k)}(Z):=(\downarrow 2)(a^{*}(Z)\cdot s^{(k+1)}(Z))$

و:

$d_{n}^{(k)}:={\frac {1}{2}}\sum _{m=-N}^{N}b_{m}s_{2n+m}^{(k+1)}$

یا:

$d^{(k)}(Z):=(\downarrow 2)(b^{*}(Z)\cdot s^{(k+1)}(Z))$

اعمال بانک فیلتر به صورت بازگشتی

که $(\downarrow 2)$ عملگر زیرنمونه‌گیری است و در فضای زد به صورت سری لوران ضرایب با اندیس زوج تعریف می‌شود:

$(\downarrow 2)(c(Z))=\sum _{k\in \mathbb {Z} }c_{2k}Z^{k}$

بدین ترتیب:

$P_{k}[f](x):=\sum _{n\in \mathbb {Z} }s_{n}^{(k)}\,\phi (2^{k}x-n)$

که حاصل جمعِ بالا برابر با تصویر سیگنال $P_{k}[f](x)$ بر زیرفضای $V_{k}$ است. در نتیجه:

$P_{J}[f](x)=P_{k}[f](x)+D_{k}[f](x)+\dots +D_{J-1}[f](x)$

که ضرایب جزئی برابرند با:

$D_{k}[f](x):=\sum _{n\in \mathbb {Z} }d_{n}^{(k)}\,\psi (2^{k}x-n)$

که $\psi$ موجک مادر نامیده می‌شود.