ترانهاده

در جبر خطی ترانهاده (به انگلیسی: Transpose) یک ماتریس مانند A ماتریس دیگری است که با نماد A^T (به شکل‌های دیگر A′، A^tr یا ^tA نوشته می‌شود) مشخص شده و نسبت به ماتریس A دارای تفاوت با تعریف زیر است: $[A]_{i\times j}=[A^{T}]_{j\times i}$

به عبارت دیگر باید هنگام نوشتن ترانهاده هر ماتریسی سطرهای ماتریس را به شکل ستون نوشت و ستون‌های ماتریس را به شکل سطر؛

در واقع یک ماتریس n×m اگر ترانهاده شود یک ماتریس m×n خواهد بود. ترانهاده یک عدد همان عدد است.

مثال‌ها ویرایش

${\begin{bmatrix}1&2\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }\!\!\;\!=\,{\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}}.$
${\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }\!\!\;\!=\,{\begin{bmatrix}1&3\\2&4\end{bmatrix}}.$
${\begin{bmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }\!\!\;\!=\,{\begin{bmatrix}1&3&5\\2&4&6\end{bmatrix}}.\;$

خواص ترانهاد ویرایش

برای دو ماتریس دلخواه A و B و عدد C خواص زیر صدق می‌کند

$\left(\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }\right)^{\mathrm {T} }=\mathbf {A} \quad \,$
$(\mathbf {A} +\mathbf {B} )^{\mathrm {T} }=\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }+\mathbf {B} ^{\mathrm {T} }\,$
$\left(\mathbf {AB} \right)^{\mathrm {T} }=\mathbf {B} ^{\mathrm {T} }\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }\,$
ماتریس مربعی A وارون‌پذیر است اگر و فقط اگر A^T وارون‌پذیر باشد
$(c\mathbf {A} )^{\mathrm {T} }=c\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }\,$
$\det(\mathbf {A} ^{\mathrm {T} })=\det(\mathbf {A} )\,$
ضرب داخلی دو ماتریس a و b می‌توان به شکل زیر محاسبه شود.

\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\mathbf {a} ^{\mathrm {T} }\mathbf {b} ,

که در نمادگذاری اینشتینa_i bⁱ نوشته می‌شود.

$(\mathbf {A} ^{\mathrm {T} })^{-1}=(\mathbf {A} ^{-1})^{\mathrm {T} }\,$
اگر A یک ماتریس مربعی باشد مقدار ویژه این ماتریس برابر مقدار ویژه ماتریس ترانهاده آن است.