با داشتن k+1 نقطه‌ی
(
x
0
,
y
0
)
,
…
,
(
x
k
,
y
k
)
{\displaystyle (x_{0},y_{0}),\ldots ,(x_{k},y_{k})}
تفاضلات کسری پیش‌رو به این شکل تعریف می‌شوند:
[
y
ν
]
:=
y
ν
,
ν
∈
{
0
,
…
,
k
}
{\displaystyle [y_{\nu }]:=y_{\nu },\qquad \nu \in \{0,\ldots ,k\}}
[
y
ν
,
…
,
y
ν
+
j
]
:=
[
y
ν
+
1
,
…
,
y
ν
+
j
]
−
[
y
ν
,
…
,
y
ν
+
j
−
1
]
x
ν
+
j
−
x
ν
,
ν
∈
{
0
,
…
,
k
−
j
}
,
j
∈
{
1
,
…
,
k
}
.
{\displaystyle [y_{\nu },\ldots ,y_{\nu +j}]:={\frac {[y_{\nu +1},\ldots ,y_{\nu +j}]-[y_{\nu },\ldots ,y_{\nu +j-1}]}{x_{\nu +j}-x_{\nu }}},\qquad \nu \in \{0,\ldots ,k-j\},\ j\in \{1,\ldots ,k\}.}
و تفاضلات کسری پس‌رو به این شکل تعریف می‌شوند:
[
y
ν
]
:=
y
ν
,
ν
∈
{
0
,
…
,
k
}
{\displaystyle [y_{\nu }]:=y_{\nu },\qquad \nu \in \{0,\ldots ,k\}}
[
y
ν
,
…
,
y
ν
−
j
]
:=
[
y
ν
,
…
,
y
ν
−
j
+
1
]
−
[
y
ν
−
1
,
…
,
y
ν
−
j
]
x
ν
−
x
ν
−
j
,
ν
∈
{
j
,
…
,
k
}
,
j
∈
{
1
,
…
,
k
}
.
{\displaystyle [y_{\nu },\ldots ,y_{\nu -j}]:={\frac {[y_{\nu },\ldots ,y_{\nu -j+1}]-[y_{\nu -1},\ldots ,y_{\nu -j}]}{x_{\nu }-x_{\nu -j}}},\qquad \nu \in \{j,\ldots ,k\},\ j\in \{1,\ldots ,k\}.}
اگر نقاط داده، در قالب یک تابع ƒ داده شده باشند،
(
x
0
,
f
(
x
0
)
)
,
…
,
(
x
k
,
f
(
x
k
)
)
{\displaystyle (x_{0},f(x_{0})),\ldots ,(x_{k},f(x_{k}))}
در این صورت می‌نویسیم:
f
[
x
ν
]
:=
f
(
x
ν
)
,
ν
∈
{
0
,
…
,
k
}
{\displaystyle f[x_{\nu }]:=f(x_{\nu }),\qquad \nu \in \{0,\ldots ,k\}}
f
[
x
ν
,
…
,
x
ν
+
j
]
:=
f
[
x
ν
+
1
,
…
,
x
ν
+
j
]
−
f
[
x
ν
,
…
,
x
ν
+
j
−
1
]
x
ν
+
j
−
x
ν
,
ν
∈
{
0
,
…
,
k
−
j
}
,
j
∈
{
1
,
…
,
k
}
.
{\displaystyle f[x_{\nu },\ldots ,x_{\nu +j}]:={\frac {f[x_{\nu +1},\ldots ,x_{\nu +j}]-f[x_{\nu },\ldots ,x_{\nu +j-1}]}{x_{\nu +j}-x_{\nu }}},\qquad \nu \in \{0,\ldots ,k-j\},\ j\in \{1,\ldots ,k\}.}
نمادگذاری‌های متفاوتی برای تفاضلات کسری تابع ƒ روی نقاط x 0 , ..., xn استفاده می‌شود:
[
x
0
,
…
,
x
n
]
f
,
{\displaystyle [x_{0},\ldots ,x_{n}]f,}
[
x
0
,
…
,
x
n
;
f
]
,
{\displaystyle [x_{0},\ldots ,x_{n};f],}
D
[
x
0
,
…
,
x
n
]
f
{\displaystyle D[x_{0},\ldots ,x_{n}]f}
و غیره.
تفاضلات کسری برای
ν
=
0
{\displaystyle \nu =0}
j
{\displaystyle j}
[
y
0
]
=
y
0
[
y
0
,
y
1
]
=
y
1
−
y
0
x
1
−
x
0
[
y
0
,
y
1
,
y
2
]
=
[
y
1
,
y
2
]
−
[
y
0
,
y
1
]
x
2
−
x
0
=
y
2
−
y
1
x
2
−
x
1
−
y
1
−
y
0
x
1
−
x
0
x
2
−
x
0
=
y
2
−
y
1
(
x
2
−
x
1
)
(
x
2
−
x
0
)
−
y
1
−
y
0
(
x
1
−
x
0
)
(
x
2
−
x
0
)
[
y
0
,
y
1
,
y
2
,
y
3
]
=
[
y
1
,
y
2
,
y
3
]
−
[
y
0
,
y
1
,
y
2
]
x
3
−
x
0
{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathopen {[}}y_{0}]&=y_{0}\\{\mathopen {[}}y_{0},y_{1}]&={\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}\\{\mathopen {[}}y_{0},y_{1},y_{2}]&={\frac {{\mathopen {[}}y_{1},y_{2}]-{\mathopen {[}}y_{0},y_{1}]}{x_{2}-x_{0}}}={\frac {{\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}-{\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}}{x_{2}-x_{0}}}={\frac {y_{2}-y_{1}}{(x_{2}-x_{1})(x_{2}-x_{0})}}-{\frac {y_{1}-y_{0}}{(x_{1}-x_{0})(x_{2}-x_{0})}}\\{\mathopen {[}}y_{0},y_{1},y_{2},y_{3}]&={\frac {{\mathopen {[}}y_{1},y_{2},y_{3}]-{\mathopen {[}}y_{0},y_{1},y_{2}]}{x_{3}-x_{0}}}\end{aligned}}}
برای روشن‌تر شدن روند بازگشتی، تفاضلات کسری را می‌توان به‌صورت یک جدول نوشت:
x
0
y
0
=
[
y
0
]
[
y
0
,
y
1
]
x
1
y
1
=
[
y
1
]
[
y
0
,
y
1
,
y
2
]
[
y
1
,
y
2
]
[
y
0
,
y
1
,
y
2
,
y
3
]
x
2
y
2
=
[
y
2
]
[
y
1
,
y
2
,
y
3
]
[
y
2
,
y
3
]
x
3
y
3
=
[
y
3
]
{\displaystyle {\begin{matrix}x_{0}&y_{0}=[y_{0}]&&&\\&&[y_{0},y_{1}]&&\\x_{1}&y_{1}=[y_{1}]&&[y_{0},y_{1},y_{2}]&\\&&[y_{1},y_{2}]&&[y_{0},y_{1},y_{2},y_{3}]\\x_{2}&y_{2}=[y_{2}]&&[y_{1},y_{2},y_{3}]&\\&&[y_{2},y_{3}]&&\\x_{3}&y_{3}=[y_{3}]&&&\\\end{matrix}}}
(
f
+
g
)
[
x
0
,
…
,
x
n
]
=
f
[
x
0
,
…
,
x
n
]
+
g
[
x
0
,
…
,
x
n
]
{\displaystyle (f+g)[x_{0},\dots ,x_{n}]=f[x_{0},\dots ,x_{n}]+g[x_{0},\dots ,x_{n}]}
(
λ
⋅
f
)
[
x
0
,
…
,
x
n
]
=
λ
⋅
f
[
x
0
,
…
,
x
n
]
{\displaystyle (\lambda \cdot f)[x_{0},\dots ,x_{n}]=\lambda \cdot f[x_{0},\dots ,x_{n}]}
(
f
⋅
g
)
[
x
0
,
…
,
x
n
]
=
f
[
x
0
]
⋅
g
[
x
0
,
…
,
x
n
]
+
f
[
x
0
,
x
1
]
⋅
g
[
x
1
,
…
,
x
n
]
+
⋯
+
f
[
x
0
,
…
,
x
n
]
⋅
g
[
x
n
]
{\displaystyle (f\cdot g)[x_{0},\dots ,x_{n}]=f[x_{0}]\cdot g[x_{0},\dots ,x_{n}]+f[x_{0},x_{1}]\cdot g[x_{1},\dots ,x_{n}]+\dots +f[x_{0},\dots ,x_{n}]\cdot g[x_{n}]}
تفاضلات کسری متقارن هستند: اگر
σ
:
{
0
,
…
,
n
}
→
{
0
,
…
,
n
}
{\displaystyle \sigma :\{0,\dots ,n\}\to \{0,\dots ,n\}}
f
[
x
0
,
…
,
x
n
]
=
f
[
x
σ
(
0
)
,
…
,
x
σ
(
n
)
]
{\displaystyle f[x_{0},\dots ,x_{n}]=f[x_{\sigma (0)},\dots ,x_{\sigma (n)}]}
از قضیه‌ی مقدار میانگین برای تفاضلات کسری نتیجه می‌شود:
f
[
x
0
,
…
,
x
n
]
=
f
(
n
)
(
ξ
)
n
!
{\displaystyle f[x_{0},\dots ,x_{n}]={\frac {f^{(n)}(\xi )}{n!}}}
ξ
{\displaystyle \xi }
x
k
{\displaystyle x_{k}}
تفاضلات کسری را می‌توان در قالب یک ماتریس بالامثلثی قرار داد. اگر داشته باشیم:
T
f
(
x
0
,
…
,
x
n
)
=
(
f
[
x
0
]
f
[
x
0
,
x
1
]
f
[
x
0
,
x
1
,
x
2
]
…
f
[
x
0
,
…
,
x
n
]
0
f
[
x
1
]
f
[
x
1
,
x
2
]
…
f
[
x
1
,
…
,
x
n
]
⋮
⋮
⋮
⋱
⋮
0
0
0
…
f
[
x
n
]
)
{\displaystyle T_{f}(x_{0},\dots ,x_{n})={\begin{pmatrix}f[x_{0}]&f[x_{0},x_{1}]&f[x_{0},x_{1},x_{2}]&\ldots &f[x_{0},\dots ,x_{n}]\\0&f[x_{1}]&f[x_{1},x_{2}]&\ldots &f[x_{1},\dots ,x_{n}]\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\ldots &f[x_{n}]\end{pmatrix}}}
آن‌گاه:
T
f
+
g
x
=
T
f
x
+
T
g
x
{\displaystyle T_{f+g}x=T_{f}x+T_{g}x}
T
f
⋅
g
x
=
T
f
x
⋅
T
g
x
{\displaystyle T_{f\cdot g}x=T_{f}x\cdot T_{g}x}
که از قانون لایب نیتز نتیجه می‌شود. این بدان معناست که ضرب چنین ماتریسی خاصیت جابه‌جایی دارد. به‌طور خلاصه، ماتریس‌های تفاضلات کسری با توجه به همان مجموعه نقاط، یک حلقه‌ی جابه‌جایی را تشکیل می‌دهند. جستارهای وابسته
ویرایش
![{\displaystyle [y_{\nu }]:=y_{\nu },\qquad \nu \in \{0,\ldots ,k\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0b559f584afa31efe09d04b4be0e091807e66c6)
![{\displaystyle [y_{\nu },\ldots ,y_{\nu +j}]:={\frac {[y_{\nu +1},\ldots ,y_{\nu +j}]-[y_{\nu },\ldots ,y_{\nu +j-1}]}{x_{\nu +j}-x_{\nu }}},\qquad \nu \in \{0,\ldots ,k-j\},\ j\in \{1,\ldots ,k\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3fbf429b65bad77486a9d90314d4af6e5edf0c1)
![{\displaystyle [y_{\nu },\ldots ,y_{\nu -j}]:={\frac {[y_{\nu },\ldots ,y_{\nu -j+1}]-[y_{\nu -1},\ldots ,y_{\nu -j}]}{x_{\nu }-x_{\nu -j}}},\qquad \nu \in \{j,\ldots ,k\},\ j\in \{1,\ldots ,k\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9ca4b8abdebfbfaf509c340f8aa07f1508e8c8b)
![{\displaystyle f[x_{\nu }]:=f(x_{\nu }),\qquad \nu \in \{0,\ldots ,k\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d88b6aba15e3cd2f79af1376a2d5e9b1df1c416)
![{\displaystyle f[x_{\nu },\ldots ,x_{\nu +j}]:={\frac {f[x_{\nu +1},\ldots ,x_{\nu +j}]-f[x_{\nu },\ldots ,x_{\nu +j-1}]}{x_{\nu +j}-x_{\nu }}},\qquad \nu \in \{0,\ldots ,k-j\},\ j\in \{1,\ldots ,k\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/424ee9e0456399b61b1ed8c66e90ca761fa7dc3e)
![{\displaystyle [x_{0},\ldots ,x_{n}]f,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52676412ab23500b8def307e74643ea7146220fe)
![{\displaystyle [x_{0},\ldots ,x_{n};f],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a0edff404a8cd6ec5f52354e4988a9dfe8badce)
![{\displaystyle D[x_{0},\ldots ,x_{n}]f}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/025c36fb7047d8abf731cb19957cca1f7bd2b23a)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathopen {[}}y_{0}]&=y_{0}\\{\mathopen {[}}y_{0},y_{1}]&={\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}\\{\mathopen {[}}y_{0},y_{1},y_{2}]&={\frac {{\mathopen {[}}y_{1},y_{2}]-{\mathopen {[}}y_{0},y_{1}]}{x_{2}-x_{0}}}={\frac {{\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}-{\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}}{x_{2}-x_{0}}}={\frac {y_{2}-y_{1}}{(x_{2}-x_{1})(x_{2}-x_{0})}}-{\frac {y_{1}-y_{0}}{(x_{1}-x_{0})(x_{2}-x_{0})}}\\{\mathopen {[}}y_{0},y_{1},y_{2},y_{3}]&={\frac {{\mathopen {[}}y_{1},y_{2},y_{3}]-{\mathopen {[}}y_{0},y_{1},y_{2}]}{x_{3}-x_{0}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7c5a021041c0405a351383f2e34f0de88e4e58b)
![{\displaystyle {\begin{matrix}x_{0}&y_{0}=[y_{0}]&&&\\&&[y_{0},y_{1}]&&\\x_{1}&y_{1}=[y_{1}]&&[y_{0},y_{1},y_{2}]&\\&&[y_{1},y_{2}]&&[y_{0},y_{1},y_{2},y_{3}]\\x_{2}&y_{2}=[y_{2}]&&[y_{1},y_{2},y_{3}]&\\&&[y_{2},y_{3}]&&\\x_{3}&y_{3}=[y_{3}]&&&\\\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d60ef92b00038923edcedaecccbadd25373b07c1)
![{\displaystyle (f+g)[x_{0},\dots ,x_{n}]=f[x_{0},\dots ,x_{n}]+g[x_{0},\dots ,x_{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9f98450062d604d6056db6fed7a9294708084a8)
![{\displaystyle (\lambda \cdot f)[x_{0},\dots ,x_{n}]=\lambda \cdot f[x_{0},\dots ,x_{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5285d5f07af1a864344dc27d700002afb4e4e82e)
![{\displaystyle (f\cdot g)[x_{0},\dots ,x_{n}]=f[x_{0}]\cdot g[x_{0},\dots ,x_{n}]+f[x_{0},x_{1}]\cdot g[x_{1},\dots ,x_{n}]+\dots +f[x_{0},\dots ,x_{n}]\cdot g[x_{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/534095e5ec06e0a714829f32de106d9c65c62b9e)
![{\displaystyle f[x_{0},\dots ,x_{n}]=f[x_{\sigma (0)},\dots ,x_{\sigma (n)}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02ce355ce667f1d9c4825733b42075bb74702610)
![{\displaystyle f[x_{0},\dots ,x_{n}]={\frac {f^{(n)}(\xi )}{n!}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b21b9d4d2d31605f2a2049acd94166b8ca3ac5b8)
![{\displaystyle T_{f}(x_{0},\dots ,x_{n})={\begin{pmatrix}f[x_{0}]&f[x_{0},x_{1}]&f[x_{0},x_{1},x_{2}]&\ldots &f[x_{0},\dots ,x_{n}]\\0&f[x_{1}]&f[x_{1},x_{2}]&\ldots &f[x_{1},\dots ,x_{n}]\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\ldots &f[x_{n}]\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eeb0275a0992c3ac7b1a7d1e99efeb617d13e65b)
