رابطهٔ میان تابعهای وارون مثلثاتی
ویرایش
نمودار تابع های
arcsin
(
x
)
{\displaystyle \operatorname {arcsin} (x)}
(قرمز) و
arccos
(
x
)
{\displaystyle \operatorname {arccos} (x)}
(آبی) در صفحهٔ مختصات دکارتی.
نمودار تابع های
arctan
(
x
)
{\displaystyle \operatorname {arctan} (x)}
(قرمز) و
arccot
(
x
)
{\displaystyle \operatorname {arccot} (x)}
(آبی) در صفحهٔ مختصات دکارتی.
نمودار تابع های
arcsec
(
x
)
{\displaystyle \operatorname {arcsec} (x)}
(قرمز) و
arccsc
(
x
)
{\displaystyle \operatorname {arccsc} (x)}
(آبی) در صفحهٔ مختصات دکارتی.
زاویههای مکمل:
arccos
x
=
π
2
−
arcsin
x
{\displaystyle \arccos x={\frac {\pi }{2}}-\arcsin x}
arccot
x
=
π
2
−
arctan
x
{\displaystyle \operatorname {arccot} x={\frac {\pi }{2}}-\arctan x}
arccsc
x
=
π
2
−
arcsec
x
{\displaystyle \operatorname {arccsc} x={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arcsec} x}
ورودیهای با علامت مخالف:
arcsin
(
−
x
)
=
−
arcsin
x
{\displaystyle \arcsin(-x)=-\arcsin x\!}
arccos
(
−
x
)
=
π
−
arccos
x
{\displaystyle \arccos(-x)=\pi -\arccos x\!}
arctan
(
−
x
)
=
−
arctan
x
{\displaystyle \arctan(-x)=-\arctan x\!}
arccot
(
−
x
)
=
π
−
arccot
x
{\displaystyle \operatorname {arccot}(-x)=\pi -\operatorname {arccot} x\!}
arcsec
(
−
x
)
=
π
−
arcsec
x
{\displaystyle \operatorname {arcsec}(-x)=\pi -\operatorname {arcsec} x\!}
arccsc
(
−
x
)
=
−
arccsc
x
{\displaystyle \operatorname {arccsc}(-x)=-\operatorname {arccsc} x\!}
ورودیهای وارون شده:
arccos
(
1
/
x
)
=
arcsec
x
{\displaystyle \arccos(1/x)\,=\operatorname {arcsec} x\,}
arcsin
(
1
/
x
)
=
arccsc
x
{\displaystyle \arcsin(1/x)\,=\operatorname {arccsc} x\,}
arctan
(
1
/
x
)
=
1
2
π
−
arctan
x
=
arccot
x
,
if
x
>
0
{\displaystyle \arctan(1/x)={\tfrac {1}{2}}\pi -\arctan x=\operatorname {arccot} x,{\text{ if }}x>0\,}
arctan
(
1
/
x
)
=
−
1
2
π
−
arctan
x
=
−
π
+
arccot
x
,
if
x
<
0
{\displaystyle \arctan(1/x)=-{\tfrac {1}{2}}\pi -\arctan x=-\pi +\operatorname {arccot} x,{\text{ if }}x<0\,}
arccot
(
1
/
x
)
=
1
2
π
−
arccot
x
=
arctan
x
,
if
x
>
0
{\displaystyle \operatorname {arccot}(1/x)={\tfrac {1}{2}}\pi -\operatorname {arccot} x=\arctan x,{\text{ if }}x>0\,}
arccot
(
1
/
x
)
=
3
2
π
−
arccot
x
=
π
+
arctan
x
,
if
x
<
0
{\displaystyle \operatorname {arccot}(1/x)={\tfrac {3}{2}}\pi -\operatorname {arccot} x=\pi +\arctan x,{\text{ if }}x<0\,}
arcsec
(
1
/
x
)
=
arccos
x
{\displaystyle \operatorname {arcsec}(1/x)=\arccos x\,}
arccsc
(
1
/
x
)
=
arcsin
x
{\displaystyle \operatorname {arccsc}(1/x)=\arcsin x\,}
در صورتی که تنها بخشی از جدول سینوس را داشته باشیم:
arccos
x
=
arcsin
1
−
x
2
,
if
0
≤
x
≤
1
{\displaystyle \arccos x=\arcsin {\sqrt {1-x^{2}}},{\text{ if }}0\leq x\leq 1}
arctan
x
=
arcsin
x
x
2
+
1
{\displaystyle \arctan x=\arcsin {\frac {x}{\sqrt {x^{2}+1}}}}
هرگاه از ریشهٔ دوم یک عدد مختلط استفاده شد، باید ریشهٔ با بخش حقیقی مثبت را انتخاب کرد (یا بخش موهومی مثبت، اگر خود آن، عدد حقیقی منفی بود).
با استفاده از رابطهٔ نیم-زاویه
tan
θ
2
=
sin
θ
1
+
cos
θ
{\displaystyle \tan {\frac {\theta }{2}}={\frac {\sin \theta }{1+\cos \theta }}}
خواهیم داشت:
arcsin
x
=
2
arctan
x
1
+
1
−
x
2
{\displaystyle \arcsin x=2\arctan {\frac {x}{1+{\sqrt {1-x^{2}}}}}}
arccos
x
=
2
arctan
1
−
x
2
1
+
x
,
if
−
1
<
x
≤
+
1
{\displaystyle \arccos x=2\arctan {\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{1+x}},{\text{ if }}-1<x\leq +1}
arctan
x
=
2
arctan
x
1
+
1
+
x
2
{\displaystyle \arctan x=2\arctan {\frac {x}{1+{\sqrt {1+x^{2}}}}}}
رابطههای میان تابعهای مثلثاتی و تابعهای وارون مثلثاتی
ویرایش
sin
(
arccos
x
)
=
cos
(
arcsin
x
)
=
1
−
x
2
{\displaystyle \sin(\arccos x)=\cos(\arcsin x)={\sqrt {1-x^{2}}}}
sin
(
arctan
x
)
=
x
1
+
x
2
{\displaystyle \sin(\arctan x)={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}}
cos
(
arctan
x
)
=
1
1
+
x
2
{\displaystyle \cos(\arctan x)={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}}
tan
(
arcsin
x
)
=
x
1
−
x
2
{\displaystyle \tan(\arcsin x)={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}}
tan
(
arccos
x
)
=
1
−
x
2
x
{\displaystyle \tan(\arccos x)={\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}}
مشتق تابعهای وارون مثلثاتی
ویرایش
مشتق ساده این نوع تابعها، به ازای x های مختلط و حقیقی به قرار زیر است:
d
d
x
arcsin
x
=
1
1
−
x
2
d
d
x
arccos
x
=
−
1
1
−
x
2
d
d
x
arctan
x
=
1
1
+
x
2
d
d
x
arccot
x
=
−
1
1
+
x
2
d
d
x
arcsec
x
=
1
x
x
2
−
1
d
d
x
arccsc
x
=
−
1
x
x
2
−
1
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\arcsin x&{}={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\\{\frac {d}{dx}}\arccos x&{}={\frac {-1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\\{\frac {d}{dx}}\arctan x&{}={\frac {1}{1+x^{2}}}\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arccot} x&{}={\frac {-1}{1+x^{2}}}\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcsec} x&{}={\frac {1}{x\,{\sqrt {x^{2}-1}}}}\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arccsc} x&{}={\frac {-1}{x\,{\sqrt {x^{2}-1}}}}\end{aligned}}}
رابطههای زیر ویژهٔ x های حقیقی است:
d
d
x
arcsec
x
=
1
|
x
|
x
2
−
1
;
|
x
|
>
1
d
d
x
arccsc
x
=
−
1
|
x
|
x
2
−
1
;
|
x
|
>
1
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcsec} x&{}={\frac {1}{|x|\,{\sqrt {x^{2}-1}}}};\qquad |x|>1\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arccsc} x&{}={\frac {-1}{|x|\,{\sqrt {x^{2}-1}}}};\qquad |x|>1\end{aligned}}}
برای مشتق ساده اگر
θ
=
arcsin
x
{\displaystyle \theta =\arcsin x\!}
باشد، آنگاه داریم:
d
arcsin
x
d
x
=
d
θ
d
sin
θ
=
1
cos
θ
=
1
1
−
sin
2
θ
=
1
1
−
x
2
{\displaystyle {\frac {d\arcsin x}{dx}}={\frac {d\theta }{d\sin \theta }}={\frac {1}{\cos \theta }}={\frac {1}{\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}}={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}
استفاده از انتگرالهای معین
ویرایش
عبارت انتگرالی برابر با تابعهای وارون مثلثاتی به قرار زیر است:
arcsin
x
=
∫
0
x
1
1
−
z
2
d
z
,
|
x
|
≤
1
arccos
x
=
∫
x
1
1
1
−
z
2
d
z
,
|
x
|
≤
1
arctan
x
=
∫
0
x
1
z
2
+
1
d
z
,
arccot
x
=
∫
x
∞
1
z
2
+
1
d
z
,
arcsec
x
=
∫
1
x
1
z
z
2
−
1
d
z
,
x
≥
1
arcsec
x
=
π
+
∫
x
−
1
1
z
z
2
−
1
d
z
,
x
≤
−
1
arccsc
x
=
∫
x
∞
1
z
z
2
−
1
d
z
,
x
≥
1
arccsc
x
=
∫
−
∞
x
1
z
z
2
−
1
d
z
,
x
≤
−
1
{\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin x&{}=\int _{0}^{x}{\frac {1}{\sqrt {1-z^{2}}}}\,dz,\qquad |x|\leq 1\\\arccos x&{}=\int _{x}^{1}{\frac {1}{\sqrt {1-z^{2}}}}\,dz,\qquad |x|\leq 1\\\arctan x&{}=\int _{0}^{x}{\frac {1}{z^{2}+1}}\,dz,\\\operatorname {arccot} x&{}=\int _{x}^{\infty }{\frac {1}{z^{2}+1}}\,dz,\\\operatorname {arcsec} x&{}=\int _{1}^{x}{\frac {1}{z{\sqrt {z^{2}-1}}}}\,dz,\qquad x\geq 1\\\operatorname {arcsec} x&{}=\pi +\int _{x}^{-1}{\frac {1}{z{\sqrt {z^{2}-1}}}}\,dz,\qquad x\leq -1\\\operatorname {arccsc} x&{}=\int _{x}^{\infty }{\frac {1}{z{\sqrt {z^{2}-1}}}}\,dz,\qquad x\geq 1\\\operatorname {arccsc} x&{}=\int _{-\infty }^{x}{\frac {1}{z{\sqrt {z^{2}-1}}}}\,dz,\qquad x\leq -1\end{aligned}}}
سریهای نامتناهی
ویرایش
مانند تابع سینوس و کسینوس، وارون این توابع را نیز میتوان به کمک سریهای نامتناهی محاسبه کرد:
arcsin
z
=
z
+
(
1
2
)
z
3
3
+
(
1
⋅
3
2
⋅
4
)
z
5
5
+
(
1
⋅
3
⋅
5
2
⋅
4
⋅
6
)
z
7
7
+
⋯
=
∑
n
=
0
∞
(
(
2
n
)
!
2
2
n
(
n
!
)
2
)
z
2
n
+
1
(
2
n
+
1
)
;
|
z
|
≤
1
{\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin z&{}=z+\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {z^{3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {z^{5}}{5}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {z^{7}}{7}}+\cdots \\&{}=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {z^{2n+1}}{(2n+1)}};\qquad |z|\leq 1\end{aligned}}}
arccos
z
=
π
2
−
arcsin
z
=
π
2
−
(
z
+
(
1
2
)
z
3
3
+
(
1
⋅
3
2
⋅
4
)
z
5
5
+
(
1
⋅
3
⋅
5
2
⋅
4
⋅
6
)
z
7
7
+
⋯
)
=
π
2
−
∑
n
=
0
∞
(
(
2
n
)
!
2
2
n
(
n
!
)
2
)
z
2
n
+
1
(
2
n
+
1
)
;
|
z
|
≤
1
{\displaystyle {\begin{aligned}\arccos z&{}={\frac {\pi }{2}}-\arcsin z\\&{}={\frac {\pi }{2}}-(z+\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {z^{3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {z^{5}}{5}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {z^{7}}{7}}+\cdots )\\&{}={\frac {\pi }{2}}-\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {z^{2n+1}}{(2n+1)}};\qquad |z|\leq 1\end{aligned}}}
arctan
z
=
z
−
z
3
3
+
z
5
5
−
z
7
7
+
⋯
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
z
2
n
+
1
2
n
+
1
;
|
z
|
≤
1
z
≠
i
,
−
i
{\displaystyle {\begin{aligned}\arctan z&{}=z-{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{5}}{5}}-{\frac {z^{7}}{7}}+\cdots \\&{}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n+1}}{2n+1}};\qquad |z|\leq 1\qquad z\neq i,-i\end{aligned}}}
arccot
z
=
π
2
−
arctan
z
=
π
2
−
(
z
−
z
3
3
+
z
5
5
−
z
7
7
+
⋯
)
=
π
2
−
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
z
2
n
+
1
2
n
+
1
;
|
z
|
≤
1
z
≠
i
,
−
i
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arccot} z&{}={\frac {\pi }{2}}-\arctan z\\&{}={\frac {\pi }{2}}-(z-{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{5}}{5}}-{\frac {z^{7}}{7}}+\cdots )\\&{}={\frac {\pi }{2}}-\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n+1}}{2n+1}};\qquad |z|\leq 1\qquad z\neq i,-i\end{aligned}}}
arcsec
z
=
arccos
(
1
/
z
)
=
π
2
−
(
z
−
1
+
(
1
2
)
z
−
3
3
+
(
1
⋅
3
2
⋅
4
)
z
−
5
5
+
(
1
⋅
3
⋅
5
2
⋅
4
⋅
6
)
z
−
7
7
+
⋯
)
=
π
2
−
∑
n
=
0
∞
(
(
2
n
)
!
2
2
n
(
n
!
)
2
)
z
−
(
2
n
+
1
)
(
2
n
+
1
)
;
|
z
|
≥
1
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arcsec} z&{}=\arccos {(1/z)}\\&{}={\frac {\pi }{2}}-(z^{-1}+\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {z^{-3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {z^{-5}}{5}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {z^{-7}}{7}}+\cdots )\\&{}={\frac {\pi }{2}}-\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {z^{-(2n+1)}}{(2n+1)}};\qquad \left|z\right|\geq 1\end{aligned}}}
arccsc
z
=
arcsin
(
1
/
z
)
=
z
−
1
+
(
1
2
)
z
−
3
3
+
(
1
⋅
3
2
⋅
4
)
z
−
5
5
+
(
1
⋅
3
⋅
5
2
⋅
4
⋅
6
)
z
−
7
7
+
⋯
=
∑
n
=
0
∞
(
(
2
n
)
!
2
2
n
(
n
!
)
2
)
z
−
(
2
n
+
1
)
2
n
+
1
;
|
z
|
≥
1
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arccsc} z&{}=\arcsin {(1/z)}\\&{}=z^{-1}+\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {z^{-3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {z^{-5}}{5}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {z^{-7}}{7}}+\cdots \\&{}=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {z^{-(2n+1)}}{2n+1}};\qquad \left|z\right|\geq 1\end{aligned}}}
همچنین لئونارد اویلر برای وارون تانژانت، سری کارآمدتری را پیدا کرد، که عبارت است از:
arctan
z
=
z
1
+
z
2
∑
n
=
0
∞
∏
k
=
1
n
2
k
z
2
(
2
k
+
1
)
(
1
+
z
2
)
.
{\displaystyle \arctan z={\frac {z}{1+z^{2}}}\sum _{n=0}^{\infty }\prod _{k=1}^{n}{\frac {2kz^{2}}{(2k+1)(1+z^{2})}}.}
هشدار : به ازای n = ۰ عبارت به یک ضرب تهی تبدیل میشود که خود برابر با ۱ است.
همچنین در ادامه میتوان نشان داد که:
arctan
z
=
∑
n
=
0
∞
2
2
n
(
n
!
)
2
(
2
n
+
1
)
!
z
2
n
+
1
(
1
+
z
2
)
n
+
1
{\displaystyle \arctan z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2^{\,2n}\,(n!)^{2}}{\left(2n+1\right)!}}\;{\frac {z^{\,2n+1}}{\left(1+z^{2}\right)^{n+1}}}}
انتگرال نامعین تابعهای وارون مثلثاتی
ویرایش
برای تمامی x های حقیقی و مختلط، رابطههای زیر برقرار است:
∫
arcsin
x
d
x
=
x
arcsin
x
+
1
−
x
2
+
C
∫
arccos
x
d
x
=
x
arccos
x
−
1
−
x
2
+
C
∫
arctan
x
d
x
=
x
arctan
x
−
1
2
ln
(
1
+
x
2
)
+
C
∫
arccot
x
d
x
=
x
arccot
x
+
1
2
ln
(
1
+
x
2
)
+
C
∫
arcsec
x
d
x
=
x
arcsec
x
−
ln
(
x
(
1
+
x
2
−
1
x
2
)
)
+
C
∫
arccsc
x
d
x
=
x
arccsc
x
+
ln
(
x
(
1
+
x
2
−
1
x
2
)
)
+
C
{\displaystyle {\begin{aligned}\int \arcsin x\,dx&{}=x\,\arcsin x+{\sqrt {1-x^{2}}}+C\\\int \arccos x\,dx&{}=x\,\arccos x-{\sqrt {1-x^{2}}}+C\\\int \arctan x\,dx&{}=x\,\arctan x-{\frac {1}{2}}\ln \left(1+x^{2}\right)+C\\\int \operatorname {arccot} x\,dx&{}=x\,\operatorname {arccot} x+{\frac {1}{2}}\ln \left(1+x^{2}\right)+C\\\int \operatorname {arcsec} x\,dx&{}=x\,\operatorname {arcsec} x-\ln \left(x\left(1+{\sqrt {{x^{2}-1} \over x^{2}}}\right)\right)+C\\\int \operatorname {arccsc} x\,dx&{}=x\,\operatorname {arccsc} x+\ln \left(x\left(1+{\sqrt {{x^{2}-1} \over x^{2}}}\right)\right)+C\end{aligned}}}
تنها برای x ≥ ۱ که عضو مجموعه اعداد حقیقی اند:
∫
arcsec
x
d
x
=
x
arcsec
x
−
ln
(
x
+
x
2
−
1
)
+
C
∫
arccsc
x
d
x
=
x
arccsc
x
+
ln
(
x
+
x
2
−
1
)
+
C
{\displaystyle {\begin{aligned}\int \operatorname {arcsec} x\,dx&{}=x\,\operatorname {arcsec} x-\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)+C\\\int \operatorname {arccsc} x\,dx&{}=x\,\operatorname {arccsc} x+\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)+C\end{aligned}}}
تمامی رابطههای بالا به کمک انتگرالگیری جزء به جزء قابل دستیابی است.
با استفاده از
∫
u
d
v
=
u
v
−
∫
v
d
u
{\displaystyle \int u\,\mathrm {d} v=uv-\int v\,\mathrm {d} u}
داریم:
u
=
arcsin
x
d
v
=
d
x
d
u
=
d
x
1
−
x
2
v
=
x
{\displaystyle {\begin{aligned}u&{}=&\arcsin x&\quad \quad \mathrm {d} v=\mathrm {d} x\\\mathrm {d} u&{}=&{\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {1-x^{2}}}}&\quad \quad {}v=x\end{aligned}}}
آنگاه:
∫
arcsin
(
x
)
d
x
=
x
arcsin
x
−
∫
x
1
−
x
2
d
x
{\displaystyle \int \arcsin(x)\,\mathrm {d} x=x\arcsin x-\int {\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,\mathrm {d} x}
با استفاده از تغییر متغیر :
k
=
1
−
x
2
.
{\displaystyle k=1-x^{2}.\,}
پس:
d
k
=
−
2
x
d
x
{\displaystyle \mathrm {d} k=-2x\,\mathrm {d} x}
و
∫
x
1
−
x
2
d
x
=
−
1
2
∫
d
k
k
=
−
k
{\displaystyle \int {\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,\mathrm {d} x=-{\frac {1}{2}}\int {\frac {\mathrm {d} k}{\sqrt {k}}}=-{\sqrt {k}}}
دوباره x را جایگزین میکنیم:
∫
arcsin
(
x
)
d
x
=
x
arcsin
x
+
1
−
x
2
+
C
{\displaystyle \int \arcsin(x)\,\mathrm {d} x=x\arcsin x+{\sqrt {1-x^{2}}}+C}
↑ واژههای مصوّب فرهنگستان تا پایان دفتر دهم فرهنگ واژههای مصوّب
جستارهای وابسته
ویرایش