توزیع نرمال-ویشارت

در نظریه احتمالات و آمار توزیع نرمال-ویشارت یک توزیع پیوسته چهار متغیره است که معمولاً به عنوان توزیع مزدوج پیشین برای توزیع نرمال با میانگین و واریانس نامعلوم به کار می‌رود.

Normal-Wishart

نماد	$({\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Lambda }})\sim \mathrm {NW} ({\boldsymbol {\mu }}_{0},\lambda ,\mathbf {W} ,\nu )$
پارامترها	${\boldsymbol {\mu }}_{0}\in \mathbb {R} ^{D}\,$ پارامتر مکان (vector of عدد حقیقی) $\lambda >0\,$ (real) $\mathbf {W} \in \mathbb {R} ^{D\times D}$ scale matrix (pos. def.) $\nu >D-1\,$ (real)
تکیه‌گاه	${\boldsymbol {\mu }}\in \mathbb {R} ^{D};{\boldsymbol {\Lambda }}\in \mathbb {R} ^{D\times D}$ ماتریس کوواریانس (pos. def.)
تابع چگالی احتمال	$f({\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Lambda }}|{\boldsymbol {\mu }}_{0},\lambda ,\mathbf {W} ,\nu )={\mathcal {N}}({\boldsymbol {\mu }}|{\boldsymbol {\mu }}_{0},(\lambda {\boldsymbol {\Lambda }})^{-1})\ {\mathcal {W}}({\boldsymbol {\Lambda }}|\mathbf {W} ,\nu )$

تعریف

فرض کنیم متغیر مربوط به میانگین دارای توزیع گوسی چند متغیره

${\boldsymbol {\mu }}|{\boldsymbol {\mu }}_{0},\lambda ,{\boldsymbol {\Lambda }}\sim {\mathcal {N}}({\boldsymbol {\mu }}|{\boldsymbol {\mu }}_{0},(\lambda {\boldsymbol {\Lambda }})^{-1})$

و متغیر مربوط به ماتریس کواریانس دارای توزیع ویشارت باشد

${\boldsymbol {\Lambda }}|\mathbf {W} ,\nu \sim {\mathcal {W}}({\boldsymbol {\Lambda }}|\mathbf {W} ,\nu )$

در اینصورت می گوییم زوج میانگین-واریانس دارای توزیع ویشارت-نرمال است

$({\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Lambda }})\sim \mathrm {NW} ({\boldsymbol {\mu }}_{0},\lambda ,\mathbf {W} ,\nu ).$

و توزیع مشترک را به این صورت مشخص می کنیم:

$f({\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Lambda }}|{\boldsymbol {\mu }}_{0},\lambda ,\mathbf {W} ,\nu )={\mathcal {N}}({\boldsymbol {\mu }}|{\boldsymbol {\mu }}_{0},(\lambda {\boldsymbol {\Lambda }})^{-1})\ {\mathcal {W}}({\boldsymbol {\Lambda }}|\mathbf {W} ,\nu )$

توزیع‌های مربوطه

• توزیع نرمال-ویشارت وارونه
• توزیع نرمال-گاما
• توزیع ویشارت

منابع

• Bishop, Christopher M. (2006). Pattern Recognition and Machine Learning. Springer Science+Business Media.