قانون تقابل مربعی

قانون تقابل مربعی (به انگلیسی: Quadratic reciprocity)، قضیه‌ای است قدرتمند در شاخه نظریه اعداد از ریاضیات. با وجود آنکه قوانینی مشابه برای درجه سوم و بالاتر ثابت شده‌است، اما همچنان این قضیه، بسیار پرکاربرد و قدرتمند ظاهر می‌شود و استفاده از آن متوقف نگشته‌است. برای بیان این قضیه ابتدا دو تعریف ارائه می‌دهیم.

قانون تقابل مربعی

مانده و نامانده

$\;p$ عددی اول و فرد و $\;a$ عددی صحیح و نسبت به $\;p$ اول است. اگر معادله همنهشتی $x^{2}\equiv a{\pmod {p}}{\mbox{ }}$ جواب داشته باشد، آنگاه عدد $\;a$ را به پیمانه $\;p$ مانده و در غیر این صورت نامانده می‌گوییم.

مثال

• $\;3$ به پیمانه $\;13$ مانده‌است زیرا $4^{2}\equiv 3{\pmod {13}}{\mbox{ }}$
• همه اعداد مربع کامل به پیمانه هر عددی مانده اند.

چند قضیه مرتبط

• مانده‌های به پیمانه عدد اول $\;p$ دقیقاً اعداد زیر اند

$1^{2},2^{2},3^{2},\cdots ,({\frac {p-1}{2}})^{2}$

• برای هر $\;p$ اول، دقیقاً ${\frac {p-1}{2}}$ مانده متمایز به هنگ $\;p$ و به همین تعداد نامانده وجود دارد.

نماد لژاندر

اگر $\;p$ عددی اول و فرد و $\;a$ عددی صحیح باشند که $\;(a,p)=1$ تابع لژاندر با نماد ${\Biggl (}{\frac {a}{p}}{\Biggr )}$ برابر است با $\;1$ اگر $\;a$ در مبنای $\;p$ مانده باشد و در غیر این صورت برابر است با $\;-1$ . به عبارت دیگر: ${\Biggl (}{\frac {a}{p}}{\Biggr )}={\begin{cases}+1\quad \quad {\mbox{if }}x^{2}\equiv a{\pmod {p}}{\mbox{ has a root}}\\-1\quad \quad {\mbox{if }}x^{2}\equiv a{\pmod {p}}{\mbox{ has no root}}\end{cases}}$

مثال

در همان مثال قبل می‌توان نوشت ${\Biggl (}{\frac {3}{13}}{\Biggr )}=1$

محک اویلر

اگر $\;p$ عددی اول و فرد و $\;a$ عددی صحیح و نسبت به آن اول باشد، آنگاه داریم ${\Biggl (}{\frac {a}{p}}{\Biggr )}\equiv a^{\frac {p-1}{2}}{\pmod {p}}$

اثبات

طبق قضیه کوچک فرما می‌دانیم برای هر$\;x$ داریم $x^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}$. پس $0\equiv a^{p-1}-1=(a^{\frac {p-1}{2}}+1)(a^{\frac {p-1}{2}}-1)\Rightarrow a^{\frac {p-1}{2}}-1\equiv 0{\mbox{ or }}a^{\frac {p-1}{2}}+1\equiv 0{\pmod {p}}$

اگر $\;a$ مانده باشد، برای یک $\;x$ ایی داریم $a\equiv x^{2}{\pmod {p}}$ و این نتیجه می‌دهد $a^{\frac {p-1}{2}}\equiv x^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}$

حال فرض کنید $\;g$ ریشه اولیه $\;p$ باشد، پس $\;i$ای هست که داشته باشیم $a\equiv g^{i}{\pmod {p}}$. پس $a^{\frac {p-1}{2}}\equiv g^{\frac {i\times (p-1)}{2}}$. اگر $\;a$ نامانده باشد، آنگاه حتماً $\;i$ فرد است و در نتیجه ${\frac {i\times (p-1)}{2}}$ بر $p-1\;$ بخش پذیر نیست و این به دلیل ریشه اول بودن $\;g$ نتیجه می‌دهد $g^{\frac {i\times (p-1)}{2}}\not \equiv 1{\pmod {p}}$ یعنی $a^{\frac {p-1}{2}}\equiv -1{\pmod {p}}$

قانون تقابل مربعی

اگر $\;p$ و $\;q$ دو عدد اول، فرد و متمایز باشند آنگاه داریم:

${\Biggl (}{\frac {p}{q}}{\Biggr )}\times {\Biggl (}{\frac {q}{p}}{\Biggr )}=(-1)^{({\frac {p-1}{2}})({\frac {q-1}{2}})}$

دو پرانتز ظاهر شده در توان $\;-1$ نماد لژاندر نیستند.

منابع

کتاب نظریه اعداد، مریم میرزاخانی، رؤیا بهشتی زواره، انتشارات فاطمی