در نظریهٔ احتمال قانون واریانس کلی (به انگلیسی : Law of total variance X و Y متغیرهای تصادفی در فضای احتمال یکسان باشند و واریانس Y دارای مقدار محدود باشد در اینصورت داریم
Var
(
Y
)
=
E
(
Var
(
Y
∣
X
)
)
+
Var
(
E
(
Y
∣
X
)
)
.
{\displaystyle \operatorname {Var} (Y)=\operatorname {E} (\operatorname {Var} (Y\mid X))+\operatorname {Var} (\operatorname {E} (Y\mid X)).\,}
از تعریف واریانس داریم
Var
[
Y
]
=
E
[
Y
2
]
−
E
[
Y
]
2
{\displaystyle \operatorname {Var} [Y]=\operatorname {E} [Y^{2}]-\operatorname {E} [Y]^{2}}
که بر اساس قانون امید ریاضی کل برابر است با
=
E
[
E
[
Y
2
|
X
]
]
−
E
[
E
[
Y
|
X
]
]
2
{\displaystyle =\operatorname {E} \left[\operatorname {E} [Y^{2}|X]\right]-\operatorname {E} \left[\operatorname {E} [Y|X]\right]^{2}}
می‌توان جمله اول از عبارت فوق را بر اساس واریانس آن بازنویسی کرد:
=
E
[
Var
[
Y
|
X
]
+
E
[
Y
|
X
]
2
]
−
E
[
E
[
Y
|
X
]
]
2
{\displaystyle =\operatorname {E} \!\left[\operatorname {Var} [Y|X]+\operatorname {E} [Y|X]^{2}\right]-\operatorname {E} [\operatorname {E} [Y|X]]^{2}}
و جمع عبارات داخل امیدریاضی را تبدیل به جمع دو امید ریاضی کرد:
=
E
[
Var
[
Y
|
X
]
]
+
(
E
[
E
[
Y
|
X
]
2
]
−
E
[
E
[
Y
|
X
]
]
2
)
{\displaystyle =\operatorname {E} [\operatorname {Var} [Y|X]]+\left(\operatorname {E} [\operatorname {E} [Y|X]^{2}]-\operatorname {E} [\operatorname {E} [Y|X]]^{2}\right)}
و در نهایت داریم:
=
E
[
Var
[
Y
|
X
]
]
+
Var
[
E
[
Y
|
X
]
]
{\displaystyle =\operatorname {E} \left[\operatorname {Var} [Y|X]\right]+\operatorname {Var} \left[\operatorname {E} [Y|X]\right]}
تعمیم درجه های بالاتر
ویرایش
تعمیم قضیه فوق به گشتاور مرکزی درجه سه به صورت زیر است:
μ
3
(
Y
)
=
E
(
μ
3
(
Y
∣
X
)
)
+
μ
3
(
E
(
Y
∣
X
)
)
+
3
cov
(
E
(
Y
∣
X
)
,
var
(
Y
∣
X
)
)
.
{\displaystyle \mu _{3}(Y)=\operatorname {E} (\mu _{3}(Y\mid X))+\mu _{3}(\operatorname {E} (Y\mid X))+3\,\operatorname {cov} (\operatorname {E} (Y\mid X),\operatorname {var} (Y\mid X)).\,}
![{\displaystyle \operatorname {Var} [Y]=\operatorname {E} [Y^{2}]-\operatorname {E} [Y]^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f297286d416aa294c7d42f34b6d6563a9fbd7c92)
![{\displaystyle =\operatorname {E} \left[\operatorname {E} [Y^{2}|X]\right]-\operatorname {E} \left[\operatorname {E} [Y|X]\right]^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b4d501bc985e419a58313c3575dc7fff06d210b)
![{\displaystyle =\operatorname {E} \!\left[\operatorname {Var} [Y|X]+\operatorname {E} [Y|X]^{2}\right]-\operatorname {E} [\operatorname {E} [Y|X]]^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3c14acc86559bbfb4dea6a1373ce8580dd4e8cb)
![{\displaystyle =\operatorname {E} [\operatorname {Var} [Y|X]]+\left(\operatorname {E} [\operatorname {E} [Y|X]^{2}]-\operatorname {E} [\operatorname {E} [Y|X]]^{2}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19a981c6551b42cf21bbede773e129dc0fb4b9ca)
![{\displaystyle =\operatorname {E} \left[\operatorname {Var} [Y|X]\right]+\operatorname {Var} \left[\operatorname {E} [Y|X]\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/948c11e93cca495fd7414af3eabb7256b8234f4e)
