قضیه نگاشت باز

در ریاضیات دو قضیه با نام «قضیه نگاشت باز» (به انگلیسی: Open mapping theorem) وجود دارد.

آنالیز تابعی

در آنالیز تابعی، قضیهٔ نگاشت باز که همچنین با نام قضیهٔ شوائر–باناخ شناخته شده‌است یک نتیجهٔ اصلی است که بیان می‌کند: اگر A: X → Y عملگر خطی پیوسته پوشا در فضای باناخ X و Y باشد، آنگاه A یک نگاشت باز است (اگر U یک مجموعه باز در X باشد، آنگاه A(U) یک مجموعه بازدر Y است).

برای اثبات از قضیهٔ رسته‌ای بئر استفاده می‌شود.

قضیه نگاشت باز دو نتیجه مهم دارد:

• اگر A: X → Y یک عملگر خطی پیوسته دوسو در فضای باناخ X و Y باشد، آنگاه عملگر وارون A^-۱: Y → X یک عملگر خطی پیوسته دوسو است.
• اگر A: X → Y یک عملگر خطی در فضای باناخ X و Y باشد و اگر برای هر دنباله (x_n) در X با x_n → ۰ و Ax_n → y تابعیت می‌کند که y = ۰، آنگاه A پیوسته‌است (قضیه نمودار بسته).

آنالیز مختلط

در آنالیز مختلط قضیه نگاشت باز بیان می‌کند که اگر U یک مجموعه باز همبند در صفحهٔ مختلط C باشد و f: U → C یک تابع هولومورفیک غیر ثابت باشد، آنگاه f یک نگاشت باز است (زیر مجموعه‌های باز U را به زیرمجموعه‌های باز C می‌نگارد).

قضیه برای مثال اشاره به این مطلب می‌کند که یک تابع هولومورفیک غیر ثابت نمی‌تواند یک قرص باز را به توی بخشی از یک خط بنگارد.

برهان

ابتدا فرض کنید f یک تابع غیر ثابت هولومورفیک و U یک زیرمجموعه باز همبند در صفحهٔ مختلط است. اگر هر نقطه در $f(U)$ یک نقطهٔ داخلی $f(U)$ باشد آنگاه $f(U)$ باز است؛ بنابراین اگر هر نقطه در $f(U)$ که محتوی یک دیسک است، شامل $f(U)$ باشد آنگاه $f(U)$ باز است.

اطراف هر نقطه در $U$، یک گوی مناسب در $U$ وجود دارد. یک $z_{0}$ دلخواه در $U$ و نقطهٔ تصویر آن $w_{0}=f(z_{0})$ را در نظر بگیرید. اگر $f(z_{0})-w_{0}=0$ آنگاه $z_{0}$ یک ریشه تابع $f(z)-w_{0}$ است. تابع $f(z)-w_{0}$ ممکن است ریشه دیگری در فاصله $d_{1}$ از $z_{0}$ داشته باشد. فاصله از $z_{0}$ تا یک نقطه که در U نیست نوشته می‌شود $d_{2}$. هر گوی B با شعاع کمتر از مینیمم $d_{1}$ و $d_{2}$ داخل U خواهد بود و حداقل یکی وجود دارد زیرا $d_{1},d_{2}>0$.

گوی $B_{2}$ را اطراف $w_{0}$ با شعاع $e$ و عناصر $w$ در نظر می‌گیریم. از قضیه روشه یا آرگومان اصلی توابع $f(z)-w_{0}$ و $f(z)-w$ برای هر $w$ با فاصله $e$ از f($z_{0}$)، دارای تعداد یکسانی ریشه هستند. فرض کنید $z_{1}$ ریشه یا یکی از ریشه‌های $f(z)-w$ باشد؛ بنابراین، برای هر $w$ در $B_{2}$، یک $z_{1}$ در $B$ وجود دارد که $f(z_{1})=w$، تصویر $B_{2}$ یک زیر مجموعه از تصویر $B$ است که یک زیر مجموعه $f(U)$ است. پس $w$ یک نقطه درونی $f(U)$ بای هر $w$ دلخواه، و قضیه ثابت شده‌است.

منابع

• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Open mapping theorem (functional analysis)». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی، بازبینی‌شده در ۲۲ فوریه ۲۰۱۴.