مسئله سه زندانی

مسئله سه‌زندانی یکی از پارادوکس‌های معروف نظریه احتمالات است که زمانی که مطرح شد جنجال زیادی در بین پاسخ‌ دهندگان به وجود آورد.

مسئله‌ی مونتی‌هال که تشابه زیادی به مساله ۳ زندانی دارد.

این مسئله اولین بار در سال ۱۹۵۹ توسط مارتین گاردنر در مجلهٔ علمی Scientific American مطرح شد. بعدها پارادوکس معروف مونتی‌هال به بحث گذاشته شد که تشابه بسیاری با این مسئله داشت صرفاً با این تفاوت که به جای ماشین و گوزن، اعدام و بخشش وجود دارد.

همچنین عده‌ای معتقدند این مسئله بر پایه مسئله سه کارت است.

مسئله

صورت این مسئله به شرح زیر است:فرض کنید سه زندانی B , A و C در سلول‌های جداگانه نگهداری می‌شوند و هر ۳ نفر محکوم به مرگ هستند. قاضی یکی از آن‌ها را به صورت تصادفی انتخاب می‌کند و او را مورد بخشش قرار می‌دهد. زندان‌بان می‌داند که کدام زندانی بخشیده شده ولی حق گفتن آن را ندارد. زندانی A به او اصرار می‌کند که به صورت زیر نام یکی از زندانیانی که اعدام می‌شود را بگوید:

• اگر B بخشیده شده‌است، نام C را بگوید.
• اگر C بخشیده شده‌است، نام B را بگوید.
• اگر خودش بخشیده شده‌است، زندان‌بان یک سکه پرتاب کرده و به تصادف نام B یا C را بگوید.

زندان‌بان می‌گوید که B اعدام خواهد شد. زندانی A از این گفته خوشحال شده و فکر می‌کند که احتمال بخشش او افزایش یافته‌است زیرا اکنون فقط او و C شانس بخشش دارند.A این خبر را به C می‌گوید و او نیز خوشحال می‌شود زیرا فکر می‌کند شانس A ثابت مانده ولی شانس او افزایش یافته‌است. حال کدام یک درست فکر می‌کنند؟

راه حل

برای پاسخ ابتدا بررسی می‌کنیم که در چه حالت‌هایی زندان‌بان نام B را به عنوان اعدامی می‌گوید:

1. C بخشیده شده‌است. (احتمال این حالت: ۱/۳)
2. A بخشیده شده‌است (احتمال: ۱/۳) و سپس سکه انداخته شده و نام B گفته شده‌است (احتمال: ۱/۲). (احتمال این حالت: ۱/۶)

پس می‌توان نتیجه گرفت که زمانی که زندان‌بان نام B را گفته، احتمال بخشیده شدن C دو برابر احتمال بخشیده شدن A است. این یعنی شانس A برای بخشیده شدن هنوز همان ۱/۳ ولی شانس C برای بخشیده شدن برابر ۲/۳ است.

بیان ریاضی

برای بیان این مسئله به صورت ریاضی از قانون بیز استفاده می‌کنیم. رخداد a را برابر گفته شدن نام A توسط زندان‌بان (به همین ترتیب b و c) و رخداد A را برابر بخشیده شدن A (به همین ترتیب B و C) در نظر می‌گیریم:

$P(A|b)={\frac {P(b|A)*P(A)}{P(b|A)*P(A)+P(b|B)*P(B)+P(b|C)*P(C)}}$ : احتمال بخشیده شدن A در صورت گفتن نام B

۱/۳ = $={\frac {1/2*1/3}{1/2*1/3+0*1/3+1*1/3}}$

$P(C|b)={\frac {P(b|C)*P(C)}{P(b|A)*P(A)+P(b|B)*P(B)+P(b|C)*P(C)}}$ : احتمال بخشیده شدن C در صورت گفتن نام B

۲/۳ = $={\frac {1*1/3}{1/2*1/3+0*1/3+1*1/3}}$

حالات ممکن

همین مسئله را به این صورت فرض می‌کنیم که زندان بان به جای نام بردن یک زندانی که اعدام می‌شود، قرار است وضعیت یک زندانی را مشخص کند. یعنی می‌تواند بگوید که بخشیده شده یا اعدام می‌شود.

حالات ممکن به شرح زیر است:

1. A بخشیده می‌شود و زندان بان می‌گوید: B اعدام می‌شود. (۱/۶)
2. A بخشیده می‌شود و زندان بان می‌گوید: C اعدام می‌شود. (۱/۶)
3. B بخشیده می‌شود و زندان بان می‌گوید: B بخشیده می‌شود. (۱/۶)
4. B بخشیده می‌شود و زندان بان می‌گوید: C اعدام می‌شود. (۱/۶)
5. C بخشیده می‌شود و زندان بان می‌گوید: C بخشیده می‌شود. (۱/۶)
6. C بخشیده می‌شود و زندان بان می‌گوید: B اعدام می‌شود. (۱/۶)

در این مسئله تمام حالات احتمال برابر دارند. حال فرق مسئله سه زندانی با این مسئله در این است که در مسئله سه زندانی امکان این که زندان بان بگوید زندانی بخشیده می‌شود وجود ندارد بنابراین حالت ۳ در حالت ۴ و همچنین حالت ۵ در حالت ۶ ادغام می‌شود.

پس حالات مسئله سه زندانی به صورت زیر است:

1. A بخشیده می‌شود و زندان بان می‌گوید: B اعدام می‌شود. (۱/۶)
2. A بخشیده می‌شود و زندان بان می‌گوید: C اعدام می‌شود. (۱/۶)
3. B بخشیده می‌شود و زندان بان می‌گوید: C اعدام می‌شود. (۱/۳)
4. C بخشیده می‌شود و زندان بان می‌گوید: B اعدام می‌شود. (۱/۳)

جستارهای وابسته

• مونتی هال
• سه کارت
• نظریه بازی‌های ترکیبیاتی
• قضیه بیز