مشتق کل

در حساب دیفرانسیل و انتگرال، عبارت مشتق کل یا مشتق تام یا مشتق کامل برای چند مفهوم مختلف به‌کار می‌رود:

مشتق کل یک تابع $f$ با چندین متغیر، برای نمونه $t$، $x$، $y$ و... نسبت به یکی از متغیرهایش مانند $t$ با مشتق پاره‌ای آن ($\partial$) نسبت به آن متغیر متفاوت است. برای محاسبهٔ مشتق کل یک تابع $f$ نسبت به $t$، فرض نمی‌شود که متغیرهای دیگر ثابت‌اند در حالی‌که $t$ تغییر می‌کند. در عوض، اجازه داده می‌شود که متغیرهای دیگر هم به $t$ وابسته باشد. مشتق کل، این وابستگی‌های غیرمستقیم را هم در نظر می‌گیرد تا نشان‌دهندهٔ وابستگی کلی تابع $f$ نسبت به $t$ باشد. برای مثال، مشتق کل $f(t,x,y)$ نسبت به $t$ به‌صورت زیر محاسبه می‌شود:

${\frac {\operatorname {d} f}{\operatorname {d} t}}={\frac {\partial f}{\partial t}}{\frac {\operatorname {d} t}{\operatorname {d} t}}+{\frac {\partial f}{\partial x}}{\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} t}}+{\frac {\partial f}{\partial y}}{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} t}}.$

که به‌صورت زیر ساده می‌شود:

${\frac {\operatorname {d} f}{\operatorname {d} t}}={\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {\partial f}{\partial x}}{\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} t}}+{\frac {\partial f}{\partial y}}{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} t}}.$

با ضرب‌کردن رابطهٔ بالا در دیفرانسیل $\operatorname {d} t$:

${\operatorname {d} f}={\frac {\partial f}{\partial t}}\operatorname {d} t+{\frac {\partial f}{\partial x}}\operatorname {d} x+{\frac {\partial f}{\partial y}}\operatorname {d} y.$

نتیجه، تغییر جزئی $\operatorname {d} f$ در مقدار تابع $f$ خواهد بود. با توجه به اینکه تابع $f$ به متغیر $t$ وابسته است، بخشی از این تغییر ناشی از مشتق پاره‌ای $f$ نسبت به $t$ خواهد بود. با این حال، بخشی از این تغییر هم ناشی از مشتق‌های پاره‌ای تابع $f$ نسبت به متغیرهای $x$ و $y$ خواهد بود.

مشتق کل می‌تواند به یک عملگر دیفرانسیلی مانند عملگر زیر اشاره کند:

${\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} x}}={\frac {\partial }{\partial x}}+\sum _{j=1}^{k}{\frac {\operatorname {d} y_{j}}{\operatorname {d} x}}{\frac {\partial }{\partial y_{j}}},$

که مشتق کل یک تابع را (در این مثال نسبت به $x$) محاسبه می‌کند.

• مشتق کل، می‌تواند به دیفرانسیل کامل $\operatorname {d} f$ یک تابع، چه در زبان سنتی مقادیر جزئی و چه در زبان مدرن فرم‌های دیفرانسیلی اشاره کند.

یک دیفرانسیل به فرم

$\sum _{j=1}^{k}f_{j}(x_{1},\dots ,x_{k})\operatorname {d} {x_{j}}$

مشتق کل یا مشتق دقیق نامیده می‌شود اگر دیفرانسیل یک تابع باشد. این هم می‌تواند به صورت مقادیر جزئی یا با استفاده از فرم‌های دیفرانسیلی و مشتق خارجی تعبیر شود.

مشتق کل به‌عنوان نام دیگر مشتق به عنوان یک نگاشت خطی به‌کار می‌رود. به‌عنوان مثال، اگر $f$ یک تابع مشتق‌پذیر از $\mathbb {R} ^{n}$ به $\mathbb {R} ^{m}$ باشد، سپس مشتق کل $f$ در $x\in \mathbb {R} ^{n}$، یک نگاشت خطی از $\mathbb {R} ^{n}$ به $\mathbb {R} ^{m}$ خواهد بود که ماتریس آن، ماتریس ژاکوبی $f$ در $x$ است.

مشتق کل به‌عنوان مترادف گرادیان که مشتق یک تابع از $\mathbb {R} ^{n}$ به $\mathbb {R}$ است، به‌کار می‌رود.

مشتق کل، گاهی اوقات به‌عنوان مترادف مشتق مادی (${\frac {D\mathbf {u} }{Dt}}$) در مکانیک شاره‌ها به‌کار می‌رود.