همانی جمع

در ریاضیات همانی جمع (به انگلیسی: Addition identity) یک مجموعه که عملگر جمع برای آن تعریف شده، عضوی است که اگر به هر عضو x از مجموعه اضافه شود، x نتیجه می‌دهد. یکی از آشناترین همانی‌های جمع در ریاضیات ابتدایی (به انگلیسی: Elementary Mathematics) عدد صفر است، اما همانی‌های جمع در دیگر ساختارهای ریاضی که جمع تعریف شده (مانند گروه‌ها و حلقه‌ها) وجود دارند.

نمونه‌های ابتدایی ویرایش

همانی جمع آشنا از ریاضیات ابتدایی صفر است. مثلاً:

$5+0=5=0+5$

در اعداد طبیعی( $\mathbb {N}$ ) و همه مجموعه‌هایی که اعداد طبیعی زیر مجموعه آن‌ها است(اعداد صحیح( $\mathbb {Z}$ )، کسری یا گویا( $\mathbb {Q}$ )، حقیقی( $\mathbb {Q}$ ) و مختلط( $\mathbb {C}$ ))، همانی جمع ۰ است. در نتیجه برای هر n از این اعداد داریم:

$n+0=n=0+n$

تعریف رسمی ویرایش

اگر N مجموعه‌ای باشد که نسبت به عمل جمع بسته‌است، یک همانی جمع برای N هر عضو e است که برای هر عضو n در N داشته باشیم:

$n+e=n=e+n$

مثال: $n+0=n=0+n$

مثال‌های بیشتر ویرایش

در یک گروه جمع همانی، عنصر همانی گروه است و اغلب با صفر نشان داده می‌شود و یکتاست.
یک حلقه یا میدان،یک گروه تحت عمل جمع است و در نتیجه یک همانی جمع یکتا ۰ دارد.این تعریف شده تا از همانی ضرب(۱) در صورتی که حلقه یا میدان بیشتر از ۱ عضو دارد،متفاوت باشد.
در چهارگان‌ها، ۰ همانی جمع است.
در حلقه‌ی توابع از اعداد حقیقی به اعداد حقیقی، تابعی که هر عدد را به صفر مرتبط می‌کند همانی جمع است.
در گروه جابجایی‌پذیر یا آبلی از بردارها در Rⁿ، مرکز یا بردار صفر همانی جمع است.

اثبات‌ها ویرایش