هماهنگ‌های کروی

در ریاضیات، هماهنگ‌های کروی بخش زاویه‌ای مجموعه‌ای از جواب‌های متعامد برای معادله لاپلاس هستند که در دستگاه مختصات کروی بیان شده است. هماهنگ‌های کروی کاربردهای نظری و عملی زیادی دارند، به ویژه در محاسبهٔ ترازهای الکترونی اتم‌ها، نمایش میدان‌های گرانشی، میدان مغناطیسی سیارات و تابش زمینه کیهانی. در گرافیک رایانه‌ای سه‌بعدی، هماهنگ‌های کروی نقش خاصی را در مسائل گوناگونی بازی می‌کنند، مانند نورپردازی غیرمستقیم و تشخیص اشیای سه‌بعدی.

مقدمه

هماهنگ‌های کروی حقیقی، Y_lm، برای l=0 تا l=4 (بالا به پایین) و m=0 تا m=4 (چپ به راست).

معادله لاپلاس در مختصات کروی به شکل زیر است:

$\nabla ^{2}f={1 \over r^{2}}{\partial \over \partial r}\left(r^{2}{\partial f \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}\sin \theta }{\partial \over \partial \theta }\left(\sin \theta {\partial f \over \partial \theta }\right)+{1 \over r^{2}\sin ^{2}\theta }{\partial ^{2}f \over \partial \varphi ^{2}}=0$

با تبدیل ‎f(r,θ،φ)=R(r)Θ(θ)Φ(φ)‎ ، بخش زاویه‌ای معادلهٔ لاپلاس در شرط زیر صدق می‌کند:

${\Phi (\varphi ) \over \sin \theta }{d \over d\theta }\left(\sin \theta {d\Theta \over d\theta }\right)+{\Theta (\theta ) \over \sin ^{2}\theta }{d^{2}\Phi \over d\varphi ^{2}}+l(l+1)\Theta (\theta )\Phi (\varphi )=0.$

با به‌کاربردن روش جداسازی متغیرها به دو معادله دیفرانسیل زیر می‌رسیم:

${\frac {1}{\Phi (\varphi )}}{\frac {d^{2}\Phi (\varphi )}{d\varphi ^{2}}}=-m^{2}$

$l(l+1)\sin ^{2}(\theta )+{\frac {\sin(\theta )}{\Theta (\theta )}}{\frac {d}{d\theta }}\left[\sin(\theta ){\frac {d\Theta }{d\theta }}\right]=m^{2}$

برای هر m و l. بنابراین می‌توان نشان داد که بخش زاویه‌ای جواب، حاصل‌ضرب توابع مثلثاتی و توابع وابسته لژاندر هستند:

$Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )=N\,e^{im\varphi }\,P_{\ell }^{m}(\cos {\theta }),$

که در آن $Y_{\ell }^{m}$ هماهنگ کروی درجهٔ $\ell$ و مرتبهٔ m خوانده می‌شود و $P_{\ell }^{m}$ تابع وابسته لژاندر است، N ثابت بهنجارش است و θ و φ به ترتیب زاویه با محور z (متمم عرض جغرافیایی) و زاویهٔ قطبی (طول جغرافیایی) هستند.

منابع

• E.W. Hobson, The Theory of Spherical and Ellipsoidal Harmonics, (1955) Chelsea Pub. Co., ISBN 978-0-8284-0104-3.

پیوند به بیرون

• هماهنگ‌های کروی در وب‌گاه MathWorld