پوشش خطی

در ریاضیات، اسپن یا پوشش خطی (به انگلیسی: linear span) یا گسترهٔ مجموعهٔ $S$ از بردارهای یک فضای برداری با $\operatorname {Span} (S)$ نشان داده می‌شود. گسترهٔ یک مجموعه برابر مجموعهٔ تمام بردارهایی است که از ترکیب‌های خطی عناصر $S$‌‌‌ به دست می‌آیند. پوشش‌ها را می‌توان به میترویدها و مدول‌ها تعمیم داد.

در تصویر $\operatorname {Span} (\{v,u\})$ در فضای سه‌بعدی به صورت یک صفحه نمایش داده شده. مختصات هر نقطه در این صفحه را می‌توان به شکل ترکیب خطی از $v,u$ نوشت: $au+bv$ یعنی $a$ قدم به اندازهٔ $u$ به راست و $b$ قدم به اندازهٔ $v$ به جلو ما را از مبدأ به نقطهٔ مورد نظر می‌رساند. اسپن را می‌توان به این صورت تصور کرد: مجموعهٔ تمام نقاطی که با استفاده از قدم‌زدن با این بردارها بتوان به آنها دست یافت.

برای بیان $H=\operatorname {Span} (S)$ معمولاً از این اصطلاحات استفاده می‌شود: $S$ مولد $H$ است؛ $H$ گسترهٔ $S$ است؛ $S$ فضای $H$ را پوشش می‌دهد؛ $S$ فضای $H$ را تولید می‌کند؛ فضای $H$ توسط $S$ پوشش داده می‌شود؛ فضای $H$ توسط $S$ تولید می‌شود؛ $S$ یک مجموعه پوششی برای $H$ است.

تعریف

اگر در فضای برداری $V$ بر روی میدان $F$ مجموعهٔ مولد $S$ زیرمجموعه‌‌ای از بردارهای $V$ باشد، $\operatorname {Span} (S)$ مجموعهٔ تمام بردارهایی که از ترکیب خطی عناصر $S$‌‌‌ به دست می‌آیند تعریف می‌شود:

$\operatorname {Span} (S)=\left\{{\left.\sum _{v_{i}\in S}\lambda _{i}v_{i}\;\right|\;\lambda _{i}\in F}\right\}.$

همچنین اسپن را می‌توان به صورت معادل «اشتراک همه زیرفضاهای برداری که شامل $S$ هستند»، یا به صورت «کوچکترین زیرفضای برداری شامل این مجموعه» تعریف کرد.

نتایج و قضایا

• از روی هر تعریف، تعاریف معادل دیگر نتیجه می‌شوند.
• اگر در فضای برداری $V$ مجموعهٔ مولد $S$ زیرمجموعه‌‌ای از بردارهای $V$ باشد، $H=\operatorname {Span} (S)$ زیرفضای برداری $V$ است.

جستارهای وابسته

• فضای برداری
• زیرفضای خطی
• استقلال خطی
• پایه (جبر خطی)
• بعد (فضای برداری)

منابع

مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Linear span». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی، بازبینی‌شده در ۱۷ نوامبر ۲۰۲۱.

وب

• "Linear hull". دائرة المعارف ریاضیات. 5 April 2020. Retrieved 16 Feb 2021.{{cite web}}: نگهداری CS1: url-status (link)