۱/۲ + ۱/۴ + ۱/۸ + ۱/۱۶ + ⋯

در ریاضیات، سری نامتناهی ۱/۲ + ۱/۴ + ۱/۸ + ۱/۱۶ + ⋯، یک مثال ابتدایی از سری‌های هندسی است که مطلقاً همگرا هستند. مجموع این سری به صورت زیر می‌باشد:

نمایش شش جمله اولیه سری در مربع.

${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{2}}\right)^{n}={\frac {\frac {1}{2}}{1-{\frac {1}{2}}}}=1$

اثبات مستقیم

به عنوان یک سری نامتناهی، مجموع سری ${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+\cdots$ به صورت حدی از مجموع ${\mathit {n}}$ جملهٔ اول خواهد بود:

$s_{n}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+\cdots +{\frac {1}{2^{n}}}$

به شرطی که ${\mathit {n}}$ به بی‌نهایت میل کند. با ضرب $s_{n}$ در ۲ خواهیم داشت:

$2s_{n}={\frac {2}{2}}+{\frac {2}{4}}+{\frac {2}{8}}+{\frac {2}{16}}+\cdots +{\frac {2}{2^{n}}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\cdots +{\frac {1}{2^{n-1}}}=1+s_{n}-{\frac {1}{2^{n}}}$

با حذف کردن $s_{n}$ از دو طرف داریم:

$s_{n}=1-{\frac {1}{2^{n}}}$

با میل داد ${\mathit {n}}$ به بی‌نهایت، $s_{n}$ به ۱ میل خواهد کرد.

تاریخچه

این سری به عنوان مثال برای یکی از پارادوکس‌های زنون استفاده می‌شد. پیش از این تصور می‌شد چشم حورس شش جملهٔ اول این دنباله را دارد.

همچنین نگاه کنید به

• ۰٫۹۹۹…

منابع

• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی.