باز کردن منو اصلی
نمایش تابع f(x)=(x2-1)(x-2-i)2/(x2+2+2i). در این تصویر رنگ آرگومان تابع را نشان می‌دهد و شدت رنگ بیانگر اندازه است.

آنالیز مختلط یا نظریه توابع، نام مبحثی در ریاضیات است که در آن به توابع مشتق‌پذیر با مقادیر مختلط پرداخته میشود.

محتویات

مفاهیم و قضیه‌های اساسیویرایش

تابع مختلطویرایش

تابعی است که هم دامنه تعریف آن و هم مقدار آن هردو مختلط باشند. به این ترتیب، یک تابع مختلط، تابعی است با تعریف

 

از آنجا که   با   هم‌ارز است، گاهی تعریف   نیز بکار برده میشود.

مشتق‌پذیریویرایش

به تابعی که مختلط مشتق‌پذیر باشد، تابع تحلیلی یا تابع تمامریخت گفته می‌شود و آن زمانی است که حد زیر در دایره بازی، در اطراف نقطه   وجود داشته باشد. در اینجا مسلماً   یک مقدار مختلط است.

 

تعریف بالا، هم ارز است با شرایط کوشی-ریمان که به راحتی از آن به دست می‌آید.  :

 

فرمول کوشیویرایش

فرمول انتگرال کوشی یا به طور بهتر قضیه کوشی، برای هر تابعی که بر روی محیط خاصی تحلیلی باشد، صادق است:

 

در اینجا، انتگرال مسیری، بر روی محیطی انجام می‌پذیرد که تابع در آن مشتق‌پذیر است.

قضیه مانده‌هاویرایش

(انگلیسی: Residue theorem) به مقاله اصلی مراجعه شود.

بسط دادنویرایش

بر خلاف، توابع حقیقی، بسط تیلور برای توابع تحلیلی، همیشه امکان‌پذیر است. از این گذشته، در شرایط خاصی نیز می‌توان از بسط لورنتس در این تئوری استفاده کرد.

منابعویرایش

  • Needham T., Visual Complex Analysis (Oxford, 1997).
  • Henrici P., Applied and Computational Complex Analysis (Wiley). [Three volumes: 1974, 1977, 1986.]
  • Konrad Königsberger, Analysis, Bd. 1, 6. Edition. Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-41282-4.