اتحاد و تجزیه

اتحاد در ریاضیات، یک گزاره همواره صادق است که معمولاً برای ساده‌سازی فعالیت‌های جبری در ریاضی بکار می‌رود. به عبارتی بهتر؛ معادله‌ای که به ازای هر عدد حقیقی برقرار باشد اتحاد نامیده می‌شود.

تجزیه عبارت است از شکستن یک عبارت (عدد، چندجمله‌ای یا ماتریس) به صورت مضربی از عبارات دیگر، بصورتی که حاصل‌ضرب آن‌ها عبارت اصلی را نتیجه بدهد مثلاً عدد ۱۵ به دو عدد اول ۵ و ۳ تجزیه می‌شود و چندجمله‌ای x^۲ − ۴ به (x − ۲)(x + ۲). (برای مثال در این تجزیه از اتحاد مزدوج استفاده شده‌است) نتیجهٔ یک تجزیه همیشه حاصل‌ضربی از عبارات ساده‌تر است، و تجزیه یک چندجمله‌ای همواره یکتاست. هرچند از راه‌های مختلفی می‌توان تجزیه را انجام داد.

کاربرد اتحاد

• ساده‌سازی محاسبات اعدادی مانند۱۰۱^۲
• تجزیه عبارات گویا که خود در ب.م.م‌گیری و ک.م.م‌گیری کاربرد دارد.
• تجزیه عبارات گویا که برای حل معادلات درجه دو و سه و بیشتر کاربرد دارد.
• بدست آوردن جواب معادلات درجهٔ دو

انواع اتحاد

اتحادها بسیار زیاد هستند، اما چند اتحاد اصلی که پایهٔ اتحادهای دیگر هستند از این قرارند:

بسط دوجمله‌ای

مقالهٔ اصلی: بسط دوجمله‌ای

معادل هندسی بسط دوجمله‌ای، تا توان چهار. به عنوان مثال، مساحت مربعی به ضلع a+b برابر مجموع مساحت یک مربع به ضلع a، دو مستطیل به طول a و عرض b، و یک مربع به ضلع b است: $(a+b)^{2}=b^{2}+2ab+a^{2}\,$.

مربع دو جمله‌ای (اتحاد اول و اتحاد دوم)

مربع مجموع دو جمله‌ای

$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}\,\!$

مربع تفاضل دو جمله‌ای

$(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}\,\!$

مکعب دو جمله

$(a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}\,\!$

$(a-b)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}\,\!$

مربع سه جمله‌ای

$(a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2ac+2bc\,\!$

نکته: اتحاد مربع سه جمله‌ای برخلاف اتحادهای مربع دو جمله‌ای و مکعب دو جمله‌ای، برای تفریق کاربرد ندارد .

اتحاد مزدوج

$(a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}\,\!$

اتحاد جمله مشترک

$(x+a)(x+b)=x^{2}+(a+b)x+ab\,\!$

$(x+a)(x-b)=x^{2}+(a-b)x-ab\,\!$

مجموع و تفاضل مکعبات دوجمله (اتحاد چاق و لاغر یا فیل و فنجان)

$a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2}),\,\!$

$a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2}).\,\!$

اتحاد اویلر

$(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-ac-bc)=a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc$

اتحاد لاگرانژ

$(a^{2}+b^{2})(x^{2}+y^{2})=(ax-by)^{2}+(ay+bx)^{2}\,\!$

بسط چندجمله‌ای نیوتن

$(a+b)^{n}={\binom {n}{0}}a^{n}b^{0}+{\binom {n}{1}}a^{n-1}b^{1}+\dots +{\binom {n}{n}}a^{0}b^{n}$