اتحاد پارسوال

در آنالیز فوریه، اتحاد پارسوال رابطه‌ای است که انتگرال مربع تابع را به ضرایب سری فوریه یا به تبدیل فوریه آن ارتباط می‌دهد. به طور کلی، این رابطه تعمیمی از قضیه فیثاغورث درباره فضاهای ضرب داخلی برای سری فوریه است. برای سری فوریه مختلط تابع دلخواه f، اتحاد پارسوال به صورت زیر است:

$\sum _{n=-\infty }^{\infty }|c_{n}|^{2}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }|f(x)|^{2}\,dx,$

که در آن C_n ضرایب سری فوریه مختلط تابع f هستند و از رابطه زیر به دست می‌آیند:

$c_{n}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)\mathrm {e} ^{-inx}\,dx.$

می‌توان برای تبدیل فوریه تابع f این صورت از اتحاد پارسوال را اثبات کرد:

$\int _{-\infty }^{\infty }|{\hat {f}}(\xi )|^{2}\,d\xi =\int _{-\infty }^{\infty }|f(x)|^{2}\,dx.$

منابع

• "Parseval equality", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Johnson, Lee W.; Riess, R. Dean (1982), Numerical Analysis (2nd ed.), Reading, Mass.: Addison-Wesley, ISBN 0-201-10392-3.
• Titchmarsh, E (1939), The Theory of Functions (2nd ed.), Oxford University Press.
• Zygmund, Antoni (1968), Trigonometric Series (2nd ed.), Cambridge University Press (published 1988), ISBN 978-0-521-35885-9.
• Siktar, Joshua (2019), Recasting the Proof of Parseval's Identity, Turkish Journal of Inequalities. [۱]