استقلال خطی

در جبر خطی، زیرمجموعه‌‌ای از بردارهای یک فضای برداری مانند را وابستهٔ خطی گویند هر گاه یکی از بردارها در اسپن بقیه بردارها موجود باشد . به عبارتی دیگر (طبق تعریف اسپن) یکی از بردارها را بتوان به صورت ترکیب خطی بردارهای دیگر بیان کرد .[۱]

دو نمونه از بردارهای وابسته در فضای سه‌بعدی.
یک مجموعه بردار مستقل خطی

اگر وابستهٔ خطی نباشد می‌گوییم این بردارها مستقل خطی هستند.

تعریفویرایش

مجموعهٔ   را مستقل خطی می‌نامیم اگر تنها جواب معادلهٔ   جواب بدیهی   باشد.[۲]

در غیر این صورت به این مجموعه وابسته خطی می‌گوییم.[۳] به عبارتی دیگر اگر معادلهٔ   یک جواب غیربدیهی   داشته باشد وابسته خطی است. در این صورت به معادلهٔ مذکور رابطهٔ وابستگی خطی می‌گوییم.[۲] از این رابطه می‌توان هر بردار را بر حسب بردارهای دیگر به دست آورد:  

از این رابطه نتیجه می‌گیریم یکی از بردارها در اسپن بقیه بردارها وجود دارد:   یا  

نتایج و قضایاویرایش

یک مجموعهٔ یک‌عضوی بردار   را مستقل خطی می‌گوییم اگر و تنها اگر ناصفر باشد  .

یک مجموعهٔ دوعضوی بردارها   را مستقل خطی می‌گوییم اگر و تنها اگر مضرب یکدیگر نباشند  .

هر مجموعه‌ای شامل بردار صفر   وابستهٔ خطی است.

مجموعهٔ بردارهای   با بیش از یک عضو وابستهٔ خطی است اگر و تنها اگر اندیسی مانند   وجود داشته باشد که بردار   با آن اندیس را بتوان به صورت ترکیب خطی   از بردارهای با اندیس قبل از آن بیان کرد  .[۲]

برای توابعویرایش

طبق تعریف مذکور اگر فضای برداری را مجموعهٔ تمام توابع فرض کنیم به تعریف استقلال خطی توابع می‌رسیم:

اگر بتوان مجموعهٔ ضرایبی مانند   برای مجموعهٔ توابع   پیدا کرد که   باشد (در یک دامنهٔ مشترک و پیوسته از آنها) در آن صورت مجموعهٔ توابع   مستقل خطی نیستند. در غیر این صورت   را مستقل خطی می‌نامیم.[۴]

استفاده از یک قضیهویرایش

اگر توابع   (در یک دامنهٔ مشترک و پیوسته از آنها) همگی دارای مشتق تا مرتبهٔ   اُم باشند و همچنین اگر   رونسکین این توابع باشد، این قضیه بیان می‌کند که:

توابع   مستقل خطی اند اگر و تنها اگر بتوان یک   پیدا کرد که  .[۴][۵]

جستارهای وابستهویرایش

منابعویرایش

  1. Grant Sanderson. "Linear combinations, span, and basis vectors | Chapter 2, Essence of linear algebra". 3Blue1Brown (به انگلیسی).
  2. ۲٫۰ ۲٫۱ ۲٫۲ Linear Algebra and Its Applications. sixth edition جلد. به کوشش David C. Lay, Steven R. Lay, Judi J. McDonald.
  3. H., Friedberg, Stephen (2003). Linear algebra (به انگلیسی) (4th ed ed.). Upper Saddle River, N.J.: Pearson Education. pp. 48–49. OCLC 50424308. {{cite book}}: |edition= has extra text (help)
  4. ۴٫۰ ۴٫۱ Prof. Vladimir Dobrushkin. "Part IV: Fundamental Set of Solutions" (به انگلیسی).
  5. Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems (11th Edition). به کوشش William E. Boyce, Richard C. DiPrima, Douglas B. Meade.
  • Strang, Gilbert (July 19, 2005), Linear Algebra and Its Applications (4th ed.), Brooks Cole, ISBN 978-0-03-010567-8