اصل پلی‌فیر

فرمولاسیون مدرن اصل توازی اقلیدس
(تغییرمسیر از اصل توازی هیلبرت)

در هندسه، اصل پلی‌فیر (به انگلیسی: Playfair's Axiom)، اصلی است که می‌توان از آن به جای اصل پنجم اقلیدس بهره جست (اصل توازی اقلیدس):

مقدم اصل پلی‌فیر: یک خط و نقطه ای که روی آن قرار نداشته باشد
تالی اصل پلی‌فیر: خط دومی، موازی با اولی، از آن نقطه عبور می‌کند

در یک صفحه، برای خط دلخواه و نقطه دلخواهی که روی آن قرار نداشته باشد، حداکثر یک خط موازی با خط مذکور وجود دارد که از آن نقطه عبور کند.[۱]

این اصل با اصل توازی اقلیدس، در بستر هندسه اقلیدسی معادل بوده[۲] و به نام ریاضیدان اسکاتلندی، جان پلی‌فیر نامگذاری شده‌است. کلمه «حداکثر» در تعریف، همه آن چیزی که نیاز است را می‌دهد، چرا که می‌توان آن را از باقیمانده اصولی که می‌گویند حداقل یک خط موازی وجود دارد، بدست آورد. این گزاره را اغلب با این عبارت می‌نویسند: «یک و تنها یک خط موازی وجود دارد». در کتاب اصول اقلیدس، دو خط را موازی گویند اگر هیچگاه همدیگر را قطع نکرده و از سایر خصوصیات خطوط موازی نیز استفاده نشده باشد.[۳][۴]

این اصل نه تنها در هندسه اقلیدسی، بلکه در مطالعه گسترده‌تر، شامل هندسه آفینی نیز به کار رفته‌است. در هندسه آفینی، مفهوم توازی نقش مرکزی را بازی می‌کند. در بستر هندسه آفین، شکل قوی تری از اصل پلی‌فیر وجود دارد (که در آن کلمه «حداکثر» با «یک و تنها یک» جانشین شده‌است)، چرا که اصول موضوعه‌های هندسه خنثی، جهت ارائه اثبات وجود خط موازی موجود نیستند. نسخه پلی‌فیر از این اصل چنان معروف شده که اغلب به آن اصل توازی اقلیدس گفته می‌شود،[۵] گرچه که نسخه اقلیدس از این اصل، متفاوت می‌باشد. نتیجه‌ای از این اصل، این است که رابطه دوتایی موازی بودن خطوط، یک رابطه سری می‌باشد.

ارجاعاتویرایش

  1. Playfair 1846, p. 29
  2. به بیان دقیق تر، در بستر هندسه مطلق
  3. Euclid's elements, Book I, definition 23
  4. Heath 1956, Vol. 1, p. 190
  5. به عنوان مثال، رافائل آرتزی (1965)، هندسه خطی، صفحه 202، انتشارات ادیسون-وسلی

منابعویرایش

  • Playfair, John (1846). Elements of Geometry. W. E. Dean.
  • Eves, Howard (1963), A Survey of Geometry (Volume One), Boston: Allyn and Bacon
  • Greenberg, Marvin Jay (1974), Euclidean and Non-Euclidean Geometries/Development and History, San Francisco: W.H. Freeman, ISBN 0-7167-0454-4
  • Heath, Thomas L. (1956). The Thirteen Books of Euclid's Elements ([Facsimile. Original publication: Cambridge University Press, 1908] 2nd ed.). New York: Dover Publications.
(3 vols.): شابک ‎۰−۴۸۶−۶۰۰۸۸−۲ (vol. 1), شابک ‎۰−۴۸۶−۶۰۰۸۹−۰ (vol. 2), شابک ‎۰−۴۸۶−۶۰۰۹۰−۴ (vol. 3).