تابع توما

تابع توما تابعی است که در سال ۱۸۷۵ میلادی توسط ریاضیدان آلمانی، کارل یوهانس توما معرفی شد. تابع توما در تمام نقاط گنگ دامنه‌اش پیوسته و در تمام نقاط گویای دامنه‌اش ناپیوسته است.

نمودار تابع توما در بازهٔ (۰,۱)

تعریف

فرض می‌کنیم $A:=\left\{x\in \mathbb {R} :x>0\right\}$ در اینصورت تابع توما چنین تعریف می‌شود:

$f(x):={\begin{cases}0,&x\notin \mathbb {Q} \\{\frac {1}{n}},&(x={\frac {m}{n}},(m,n)=1,m,n\in \mathbb {N} )\end{cases}}$

یعنی برای هر عدد گنگ x>۰ تعریف می‌کنیم f(x):=۰ و برای یک عدد گویا در A به صورت m/n، که در آن اعداد طبیعی m و n بجز ۱ عامل مشترکی ندارند، تعریف می‌کنیم f(m/n) := ۱/n.‏

بحث در پیوستگی تابع توما

با توجه به تعریف بالا ادعا می‌کنیم که f در هر عدد گنگ در A پیوسته و در هر عدد گویا در A ناپیوسته است.

اگر a>۰ گویا باشد، فرض می‌کنیم (x_n) دنباله‌ای از اعداد گنگ در A باشد که به a همگراست. در اینصورت lim(f(x_n)) = ۰، در حالی که f(a)> ۰. بنابراین f در a ناپیوسته است.

حال فرض می‌کنیم x_۰ عدد گنگ دلخواهی باشد. حدس می‌زنیم که $\lim \limits _{x\to x_{0}}f(x)=0$ برای تحقیق در درستی این حدس باید نشان دهیم که:

$\forall \varepsilon \;\exists \delta \;\forall x\;(0<|x-x_{0}|<\delta \Rightarrow |f(x)|<\varepsilon )$

اگر x∉ ℚ، گزارهٔ بالا درست است. در غیر اینصورت عدد N را طوری انتخاب می‌کنیم که ۱/N <ε. فرض کنید

$\delta =Min\left\{\left|{\frac {m}{n}}-x_{0}\right|:\;1\leq m\leq N\right\}$

واضح است که 0 <δ، حال اگر |x - x_۰| <δ آنگاه مخرج عدد گویای x بزرگتر از N است و

|f(x)| = ۱/n <۱/N <ε

پس حدسمان ثابت شد. یعنی ثابت کردیم که تابع f در عدد گنگ دلخواه x_۰ پیوسته است.

جستارهای وابسته

• تابع دیریکله

منابع

• بارتل، رابرت ج.؛ شربرت، دانلد ر. (۱۳۷۸). آشنایی با آنالیز حقیقی. ترجمهٔ طاهر قاسمی هنری و حکیمه ماهیار. تهران: فاطمی. شابک ۹۶۴-۴۸۶-۰۹۰-X.
• مدقالچی، علیرضا (۱۳۸۸). آنالیز ریاضی ۱. تهران: دانشگاه پیام نور. شابک ۹۷۸-۹۶۴-۴۵۵-۹۲۳-۵.