تابع پلهای
یک تابع ریاضی تکهای که تعداد تکههای آن نامتناهی باشد
(تغییرمسیر از تابع پله)
در ریاضیات یک تابع بر روی اعداد حقیقی تابع پله خوانده میشود اگر بتوان آن را به صورت ترکیب خطی متناهی از توابع مشخصه فاصلهها نوشت. به زبان سادهتر، یک تابع پله یک تابع ثابت تکه ای است که تعداد تکههای متناهی باشد.
تعریف و نتایج ابتدایی ویرایش
تابعی مثل ، یک تابع پله خوانده میشود اگر بتوان آن را به شکل زیر نوشت
- for all real numbers
که و اعداد حقیقی، فاصله، و تابع مشخصه هستند:
در این تعریف، فاصلههای را میتوان دارای خواص زیر دانست:
در واقع، اگر نقطه شروعمان متفاوت باشد، میتوان مجموعهای از فاصلههای مختلف را در نظر گرفت که فرضها در مورد آنها صدق کنند. برای مثال، تابع پله
را میتوان به شکل زیر نوشت
مثالها ویرایش
- یک تابع ثابت مثال کوچکی از یک تابع پله است. در نتیجه، تنها یک فاصله وجود دارد، .
- تابع هویساید (H(x یک تابع پله مهم است. در پس برخی از آزمونهای سیگنال یک مفهوم ریاضی نهفتهاست، مثل آنهایی که برای بدست آوردن پاسخ پله یک سیستم دینامیکی مورد استفاده قرار میگیرند.
- تابع مستطیلی، صورت نرمال شده تابع قوطی یک مثال از تابع پله واحد ساده است و برای مدل کردن تابع پالس مورد استفاده قرار میگیرد.
مثالهای اشتباه ویرایش
خواص ویرایش
- جمع و ضرب دو تابع پلهای یک تابع پلهای است. حاصلضرب یک تابع پلهای با یک عدد نیز همچنان یک تابع پلهای است. در نتیجه تابع پلهای بر روی اعداد حقیقی یک جبر را تشکیل میدهد.
- یک تابع پلهای تنها تعداد متناهی از اعداد را میپذیرد. اگر فاصلههای ، به ازای در تعریف بالا از تابع پله متفاوت باشند و جمع آن محور حقیقی باشد، آنگاهبه ازای داریم
- انتگرال لبسگو یک تابع پله برابر است که طول است و در اینجا فرض میکنیم که کل فاصلههای دارای طول متناهی هستند. در واقع این تساوی (که به ما به عنوان تعریف به آن نگاه میکنیم) میتوانند اولین قدم در ساخت انتگرال لبسگو هستند.[۲]
جستارهای وابسته ویرایش
منابع ویرایش
- ↑ for example see: Bachman, Narici, Beckenstein (2000). "Example 7.2.2". Fourier and Wavelet Analysis. Springer, New York, 2000. ISBN 0-387-98899-8.
{{cite book}}
: نگهداری یادکرد:نامهای متعدد:فهرست نویسندگان (link) - ↑ Weir, Alan J (1973). Lebesgue integration and measure. Cambridge University Press, 1973. ISBN 0-521-09751-7.
{{cite book}}
: Cite has empty unknown parameters:|unused_data=
و|coauthors=
(help); Text "chapter 3" ignored (help)