تشابه (هندسه)

هنگامی دو شکل هندسی متشابه هستند که هم‌شکل باشند. یعنی در صورتی دو شکل هندسی را متشابه می‌نامیم که با استفاده از عملیاتی چون تغییر مقیاس، دوران، انتقال یا بازتاب بتوان یکی را به دیگری تبدیل کرد.

اشکال متشابه
اشکال هم‌رنگ متشابه‌اند.
انتقال
دوران
بازتاب
تغییر مقیاس (تجانس)

گاهی اوقات تشخیص تشابه دو شکل هندسی دشوار است؛ زیرا ممکن است نیاز به اعمال دوران، انتقال یا بازتاب محوری نیز باشد.

تشابه مثلث‌هاویرایش

دو مثلث ABC و A′B′C′ متشابه هستند اگر و تنها اگر اندازهٔ زوایای متناظر برابر باشد:از این می‌توان نتیجه گرفت که ان دو مثلث همنهشت هستند اگر و تنها اگر اضلاع متناظر متناسب باشند.[۱] می‌توان نشان داد دو مثلث که با زوایای برابر متشابه هستند و می‌توان ثابت کرد که اضلاع متناظر نیز در این صورت متناسب هستند. این حالت به عنوان قضیهٔ تشابه ززز شناخته می‌شود.[۲] توجه شود که «ززز» تنها یک یادیار است و هر ز یه یکی از سه «زاویهٔ» مثلث اشاره دارد. با توجه به این قضیه گاهی برای ساده‌سازی در تعریف مثلث متشابه، انطباق زوایای متناظر دو مثلث را کافی می‌دانند.[۳] گزاره‌های زیادی هستند که شرط لازم و کافی برای تشابه دو مثلث را بیان می‌کنند:

  • مثلث‌هایی که زوایای برابر داشته باشند[۴] که در هندسهٔ اقلیدسی بر همنهشت بودن تمام زوایای آن دلالت دارد.[۵] به عبارت دیگر:
اگر اندازهٔ زاویهٔ BAC با B′A′C′ برابر باشد و اندازهٔ زاویهٔ ABC با A′B′C′ برابر باشد؛ آنگاه زاویهٔ ACB با A′C′B′ نیز برابر است و مثلث‌ها هم‌نهشتند.
AB/A′B′ = BC/B′C′ = AC/A′C′
  • اضلاع متناظر متناسب باشند:[۶]
AB/A′B′ = BC/B′C′ = AC/A′C′. به عبارت دیگر این گزاره هم ارز است با گفتن اینکه هر مثلث (یا تصویر قرینهٔ آن) با مثلث دیگر متجانس است.
  • نسبت دو ضلع برابر باشد و اندازهٔ زاویهٔ بین دو ضلع برابر باشد.[۷] مثلا:
AB/A′B′ = BC/B′C′ و اندازهٔ ABC با A′B′C′ برابر است.
این حالت با نام تشابه ض‌زض شناخته می‌شود.[۸] «ض‌زض» تنها یک یادیار است و هر ض یه یکی از دو «ضلع» اشاره دارد و حرف ز به «زاویهٔ» بین آن دو ضلع اشاره دارد.

چند ضلعی‌های دیگرویرایش

هرگاه دو چند ضلعی متشابه باشند:

  • زوایای متناظر برابر هستند.
  • اضلاع متناظر نیز دارای تناسب مشخصی هستند.

به ازای هر n ، تمام n-ضلعی‌های منتظم با یکدیگر متشابه اند.

خم‌های متشابهویرایش

چندین نوع منحنی وجود دارد که تمام نمونه‌های آن‌ها با یکدیگر متشابه هستند:

پانویسویرایش

  1. Sibley 1998, p. 35
  2. Stahl 2003, p. 127. این قضیه در اصول اقلیدس، کتاب ششم، گزارهٔ چهارم نیز اثبات شده‌است.
  3. برای نمونه، Venema 2006, p. 122 و Henderson & Taimiṇa 2005, p. 123
  4. اصول اقلیدس گزارهٔ چهارم کتاب ششم.
  5. این گزاره در هندسهٔ نااقلیدسی که در آن جمع زوایا ۱۸۰ درجه نیست صادق نیست.
  6. اصول اقلیدس گزارهٔ پنجم کتاب ششم
  7. اصول اقلیدس کتاب ششم گزارهٔ ششم
  8. Venema 2006, p. 143
  9. اثبات در academia.edu
  10. ۱۰٫۰ ۱۰٫۱ شکل بیضی یا هذلولی به نسبت b/a بستگی دارد.
  11. "Catenary". Xahlee.org. 2003-05-28. Retrieved 2010-11-17.

منابعویرایش

برای مطالعه بیشترویرایش

پیوند به بیرونویرایش