توزیع لاگ-نرمال

توزیع لاگ-نرمال (به انگلیسی: log-normal یا lognormal) در نظریه احتمال نوعی توزیع احتمال پیوسته برای یک متغیر تصادفی است، که لگاریتم آن به صورت نرمال توزیع شده‌است.

لاگ-نرمال

تابع چگالی احتمال بعضی از توابع چگالی لاگ-نرمال با پارامتر همانی $\mu$ اما پارامترهای متفاوت $\sigma$
تابع توزیع تجمعی تابع توزیع تجمیعی توزیع لاگ-نرمال (با $\mu =0$)
نماد	$\operatorname {Lognormal} (\mu ,\,\sigma ^{2})$
پارامترها	$\mu \in (-\infty ,+\infty )$, $\sigma >0$
تکیه‌گاه	$x\in (0,+\infty )$
تابع چگالی احتمال	${\frac {1}{x\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\ \exp \left(-{\frac {\left(\ln x-\mu \right)^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)$
تابع توزیع تجمعی	${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\operatorname {erf} {\Big [}{\frac {\ln x-\mu }{{\sqrt {2}}\sigma }}{\Big ]}$
چندک	$\exp(\mu +{\sqrt {2\sigma ^{2}}}\operatorname {erf} ^{-1}(2p-1))$
میانگین	$\exp \left(\mu +{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)$
میانه	$\exp(\mu )$
مُد	$\exp(\mu -\sigma ^{2})$
واریانس	$[\exp(\sigma ^{2})-1]\exp(2\mu +\sigma ^{2})$
چولگی	$(\exp(\sigma ^{2})+2){\sqrt {\exp(\sigma ^{2})-1}}$
کشیدگی	$\exp(4\sigma ^{2})+2\exp(3\sigma ^{2})+3\exp(2\sigma ^{2})-6$
آنتروپی	$\log _{2}(\sigma e^{\mu +{\tfrac {1}{2}}}{\sqrt {2\pi }})$
تابع مولد گشتاور	، تنها برای اعداد با قسمت حقیقی غیرمثبت تعریف شده‌است متن را ببینید.
تابع مشخصه	نمایش $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(it)^{n}}{n!}}e^{n\mu +n^{2}\sigma ^{2}/2}$ به صورت مجانبی واگرا است، اما برای اهداف عددی کافی می‌باشد.
اطلاع فیشر	${\begin{pmatrix}1/\sigma ^{2}&0\\0&1/2\sigma ^{4}\end{pmatrix}}$
روش گشتاورها	$\mu =\log \left({\frac {\operatorname {E} [X]^{2}}{\sqrt {\operatorname {Var} [X]+\operatorname {E} [X]^{2}}}}\right)$, $\sigma ^{2}=\log \left({\frac {\operatorname {Var} [X]}{\operatorname {E} [X]^{2}}}+1\right)$

از این رو اگر متغیر تصادفی X به صورت لاگ-نرمال توزیع شده باشد، آنوقت Y = ln(X) دارای توزیع نرمال است. به بیان دیگر، اگر Yدارای توزیع نرمال باشد، آنوقت تابع نمایی Y، یعنی X = exp(Y) دارای توزیع لاگ-نرمال است. متغیر تصادفی که به صورت لاگ-نرمال توزیع شده‌است، فقط مقادیر مثبت و حقیقی را می‌پذیرد.

رابطه بین توزیع‌های نرمال و لاگ-نرمال. اگر $Y=\mu +\sigma Z$ به صورت نرمال توزیع شده باشد، آنوقت $X\sim e^{Y}$ به صورت لاگ-نرمال توزیع شده‌است.

توزیع لاگ-نرمال مدلی مفید و مناسب برای اندازه‌گیری‌ها در علوم دقیق و مهندسی، مثل پزشکی، اقتصاد و دیگر عناوین است (مثلا انرژی، غلظت، طول، بازدهی مالی، و دیگر سنجه‌ها).

به این توزیع، بعضی مواقع توزیع گالتون (به انگلیسی: Galton distribution) هم می‌گویند که به افتخار فرانسیس گالتون نامگذاری شده‌است. توزیع لاگ-نرمال با دیگر اسامی مثل مک آلیستر (به انگلیسی: McAlister), جبرات (به انگلیسی: Gibrat) و کاب – داگلاس (به انگلیسی: Cobb–Douglas) نیز مرتبط است.

یک فرایند لاگ-نرمال، یک فهم آماری از حاصل‌ضرب چندین متغیر تصادفی مستقل است، که همه آن‌ها مثبت هستند. این موضوع از طریق درنظرگرفتن قضیه حد مرکزی در دامنه لاگ قابل توجیه است. توزیع لاگ-نرمال همان توزیع احتمال با آنتروپی حداکثری برای متغیر تصادفی X است که در آن میانگین و واریانس ln(X) از قبل معین بوده‌است.

تعاریف

تولید و پارامترها

فرض کنید که $Z$ یک متغیر تصادفی با توزیع نرمال استاندارد باشد، و همچنین فرض کنید که $\mu$ و $\sigma >0$ دو عدد حقیقی باشند. آنوقت توزیع متغیر تصادفی

$X=e^{\mu +\sigma Z}$

یک توزیع لاگ-نرمال با پارامترهای $\mu$ و $\sigma$ نامیده می‌شود. این پارامترها مقدار چشمداشتی (یا میانگین) و انحراف معیار برای لگاریتم طبیعی متغیر $X$ هستند، و نه خود $X$.

منابع

• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Log-normal distribution». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی، بازبینی‌شده در ۱۵ اکتبر ۲۰۲۰.