ثابت بهنجارسازی

از مفهوم ثابت بهنجارسازی (به انگلیسی: Normalizing constant) برای کاهش دادن هر «تابع احتمال» به یک «تابع چگالی احتمال» استفاده می‌شود، در تابع چگالی احتمال، احتمال کل برابر ۱ است.

کاربرد گسترده‌ای از ثابت بهنجارسازی در نظریهٔ احتمال و انواع زمینه‌های ریاضیات دیده می‌شود.

تعریف

در نظریه احتمال، یک ثابت بهنجارسازی نوعی ثابت است که یک تابع همه جا غیر منفی باید در آن ضرب می‌شود، و در نتیجه آن، مساحت زیر گراف برابر ۱ می‌شود، و مثلاً از آن برای ساخت یک تابع چگالی احتمال یا یک تابع جرم احتمال استفاده می‌شود.

مثال

اگر از تابع گاوسی شروع کنیم

$p(x)=e^{-x^{2}/2},x\in (-\infty ,\infty )$

ما انتگرال گاوسی متناظر زیر را داریم

$\int _{-\infty }^{\infty }p(x)\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}/2}\,dx={\sqrt {2\pi \,}},$

حال اگر ما از مقدار وارون آخری به عنوان ثابت بهنجارسازی برای اولی استفاده کنیم، می‌توان یک تابع $\varphi (x)$ را به صورت زیر تعریف کرد

$\varphi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \,}}}p(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \,}}}e^{-x^{2}/2}$

در نتیجه این کار انتگرال آن برابر واحد ۱ است

$\int _{-\infty }^{\infty }\varphi (x)\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {2\pi \,}}}e^{-x^{2}/2}\,dx=1$

آن موقع تابع $\varphi (x)$ یک تابع چگالی احتمال است؛ که چگالی توزیع نرمال استاندارد است. (استاندارد، در این حالت، یعنی امید ریاضی برابر ۰ و واریانس برابر ۱ است).

در اینجا ثابت ${\frac {1}{\sqrt {2\pi \,}}}$ همان «ثابت بهنجارسازی» برای تابع $p(x)$ است.

منابع

مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Normalizing constant». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی، بازبینی‌شده در ۲۰ سپتامبر ۲۰۲۰.