باز کردن منو اصلی

انتگرال

عملیاتی در حسابان
(تغییرمسیر از حساب انتگرال)
انتگرال معین
انتگرال معین تابعی را می توان به صورت مساحت علامت دار ناحیه ای محدود به نمودار آن تابع به تصویر کشید.

در ریاضیات، انتگرال روشی برای اختصاص اعداد به توابع است، به گونه ای که جابجایی، مساحت، حجم و دیگر مفاهیم برآمده از ترکیب داده های بی نهایت کوچک را به وسیله آن بتوان توصیف کرد. انتگرال گیری یکی از دو عمل مهم در حساب دیفرانسیل و انتگرال است، که عمل دیگر آن (عمل معکوس) دیفرانسیل گیری می باشد. برای تابع داده شده ای چون f از متغیر حقیقی x و بازه از خط حقیقی، انتگرال معین:

به طور صوری به عنوان مساحت علامت دار ناحیه ای از صفحه xy که به نمودار f، محور x و خطوط عمودی x=a و x=b محدود شده است. نواحی بالای محور x به مساحت کل افزوده و نواحی پایین محور x از ان می کاهند.

عملیات انتگرال گیری، در حد یک مقدار ثابت (یعنی بدون در نظر گرفتن آن)، معکوس عملیات دیفرانسیل گیری است. بدین منظور، اصطلاح انتگرال را می توان به معنای پاد-مشتق نیز به کار برد، تابعی چون F که مشتقش تابع داده شده ای چون f باشد. در این حالت به انتگرال f، انتگرال نامعین گفته شده و به صورت زیر نوشته می شود:

انتگرال هایی که در این مقاله مورد بحث قرار می گیرند از نوع انتگرال معین اند. قضیه اساسی حساب، دیفرانسیل گیری را به انتگرال معین ارتباط می دهد: اگر f یک تابع پیوسته حقیقی مقدار روی بازه ی باشد، آنگاه زمانی که پاد مشتق f یعنی F، معلوم باشد، انتگرال f روی آن بازه به صورت زیر داده می شود:

اصول انتگرال گیری به طور مستقل توسط اسحاق نیوتون و گوتفرید ویلهلم لایبنیز در اواخر قرن هفدهم میلادی فرموله شد، آن ها انتگرال را به صورت جمع مستطیل هایی با عرض های بی نهایت کوچک می دیدند. برنارد ریمان تعریف استواری از انتگرال ارائه نمود. این تعریف بر اساس فرآیند حد گیری است که مساحت زیر نمودار یک خم را با شکستن آن ناحیه به قطعات نازک عمودی تخمین می زند. با شروع قرن نوزدهم میلادی، مفاهیم پیچیده تری از انتگرال ظهور پیدا کرد که در آن نوع تابع به علاوه دامنه انتگرال گیری تعمیم یافت. انتگرال خطی برای توابع دو یا چند متغیره تعریف شده است و بازه انتگرال گیری در آن با خمی که دو نقطه ابتدا و انتهای انتگرال گیری را به هم متصل می کند جایگزین شده است. در انتگرال سطح (یا انتگرال رویه ای)، خم با یک رویه در فضای سه بعدی جایگزین می شود.

تاریخچهویرایش

قبل از حسابانویرایش

اولین تکنیک نظام مندی که قادر به تعیین انتگرال، روش افنا بود که توسط ستاره شناس یونان باستان، اودوکسوس (حدود ۳۷۰ قبل از میلاد) معرفی شد. در این روش مساحت ها و احجام به تعداد نامتناهی تکه که مساحت یا حجم هر کدام از آن تکه ها معلوم بود تقسیم بندی می شدند. ارشمیدس این روش را ارتقاء داده و از آن در قرن سوم قبل از میلاد استفاده کرد تا مساحت های سهمی و دایره را به کمک آن بدست آورد.

روش مشابهی به طور مستقل در حدود قرن سوم بعد از میلاد توسط میو هوی در چین بدست آمد، او از این روش برای بدست آوردن مساحت دایره استفاده کرد. این روش بعدها در قرن پنجم میلادی توسط ریاضیدانان پدر و پسر چینی یعنی زو چونگژی و زو گنگ برای بدست آوردن حجم یک کره (Shea 2007; Katz 2004, pp. ۱۲۵–۱۲۶) مورد استفاده قرار گرفت.

در خاورمیانه، حسن ابن الحیثم (نام لاتین شده او Alhazen است) (۹۶۵ - ۱۰۴۰ میلادی) فرمولی برای جمع توان های چهارم بدست آورد. او از این فرمول برای بدست آوردن چیزی استفاده کرد که اکنون میدانیم انتگرال آن تابع است، او از آن برای محاسبه حجم یک سهمی گون استفاده کرد.[۱]

تا قرن هفدهم میلادی پیشرفت مهمی در حساب انتگرال صورت نگرفت. در این زمان بود که روش کاوالیری یعنی روش تقسیم ناپذیرها، و همچنین کارهای فرما، بنیانگذاری حساب مدرن را کلید زدند. کاوالیری در فرمول‌های مربع کاوالیری خود، انتگرالهای   را تا درجه n=۹ محاسبه کرد. قدم های بعدی در اوایل قرن هفدهم میلادی توسط بارو و توریسلی برداشته شد، آن ها اولین نشانه های ارتباط انتگرال و دیفرانسیل را ارائه نمودند. بارو اولین اثبات قضیه اساسی حساب را ارائه داد. والیس روش کاوالیری را برای محاسبه انتگرال های توان های عمومی x تعمیم داد، به گونه ای که شامل توان های منفی و حتی توان های کسری نیز می شد.

مهم‌ترین تعاریف در انتگرالویرایش

مثالی از انتگرال با تقسیمات ناهمسان(بزرگترین قسمت با رنگ قرمز مشخص شده است)
همگرایی مجموع‌های ریمان

از مهم‌ترین تعاریف در انتگرال می‌توان از انتگرال ریمان و انتگرال لِبِگ است. انتگرال ریمان به‌وسیله برنهارد ریمان در سال ۱۸۵۴ ارائه شد که تعریف دقیقی را از انتگرال ارائه می‌داد تعریف دیگر را هانری لبگ ارائه داد که طبق این تعریف شرایط تعویض‌پذیری حد و انتگرال با شرط مساوی ماندن عبارت، ارائه می‌کرد. از دیگر تعاریف ارائه شده در زمینه انتگرال می‌توان به انتگرال ریمان–استیلتیس اشاره کرد. پس به‌طور خلاصه سه تعریف زیر از مهم‌ترین تعاریف انتگرال می‌باشند:

محاسبه انتگرالویرایش

 
تخمین انتگرال   از ۰ تا 1

اکثر روش‌های اساسی حل انتگرال بر پایه قضیه اساسی حساب دیفرانسیل و انتگرال بنا نهاده شده‌است که بر طبق آن داریم:

  1. f تابعی در بازه (a,b) در نظر می‌گیریم.
  2. پاد مشتق f را پیدا می‌کنیم که تابعی است مانند f .
  3. قضیه اساسی حساب دیفرانسیل و انتگرال را در نظر می‌گیریم.

بنابراین مقدار انتگرال ما برابر خواهد بود.

به این نکته توجه کنید که انتگرال واقعاً پاد مشتق نیست (یک عدد است) اما قضیه اساسی به ما اجازه می‌دهد تا از پاد مشتق برای محاسبه مقدار انتگرال استفاده کنیم. معمولاً پیدا کردن پاد مشتق تابع f کار ساده‌ای نیست و نیاز به استفاده از تکنیک‌های انتگرال‌گیری دارد این تکنیک‌ها عبارت‌اند از:

روش‌هایی دیگر نیز وجود دارد که برای محاسبه انتگرالهای معین به کار می‌رود همچنین می‌توان بعضی از انتگرال‌ها با ترفندهایی حل کرد برای مثال می‌توانید به انتگرال گاوسی مراجعه کنید.

تقریب انتگرال‌های معینویرایش

محاسبه سطح زیر نمودار به‌وسیله مستطیل‌هایی زیر نمودار. هر چه قدر عرض مستطیل‌ها کوچک می‌شوند مقدار دقیق تری از مقدار انتگرال بدست می‌آید.

انتگرال‌های معین ممکن است با استفاده از روش‌های انتگرال‌گیری عددی، تخمین زده شوند. یکی از عمومی‌ترین روش‌ها، روش مستطیلی نامیده می‌شود در این روش ناحیه زیر نمودار تابع به یک سری مستطیل تبدیل شده و جمع مساحت آن‌ها نشان دهنده مقدار تقریبی انتگرال است. از دیگر روش‌هایی معروف برای تخمین مقدار انتگرال روش سیمپسون و روش ذوزنقه‌ای است. اگر چه روش‌های عددی مقدار دقیق انتگرال را به ما نمی‌دهند ولی در بعضی از مواقع که انتگرال تابعی قابل حل نیست یا حل آن مشکل است کمک زیادی به ما می‌کند.

جمع داربو
جمع بالایی داربوسک برای تابع  
جمع پایینی داربوسک برای تابع  

کاربردویرایش

انتگرال‌ها در واقع مساحت محصور در زیر نمودار هستند و در فیزیک می‌توان برای کاربردهای زیادی تعریف کرد مانند کار انجام شده در یک فر آیند ترمودینامیکی از انتگرال رابطه فشار و حجم به دست می‌آید. اما به‌طور کلی می‌توان آن را تغییرات کمیت حاصل ضرب افقی و عمودی نمودار نامید مثلاً: در یک رابطه کمیت‌ها را تحلیل ابعادی می‌کنیم مثلاً رابطه سرعت و زمان را به صورت زیر نوشته می‌شود:

 

سپس دو تحلیل را در هم ضرب می‌کنیم:

 

پس مساحت محصور در زیر نمودار برابر با تغییرات طول (جابجایی) است.


پانویسویرایش

  1. Katz, V.J. 1995. "Ideas of Calculus in Islam and India." Mathematics Magazine (Mathematical Association of America), 68(3):163–174.

کتابشناسیویرایش

پیوند به بیرونویرایش

کتاب‌های برخطویرایش