باز کردن منو اصلی
رویه ی Boy
صفحه تصویری حقیقی یک منیفلد دو بعدی است که نمی توان آن را در سه بعد جا داد بدون این که خود را قطع کند، در اینجا رویه Boy نشان داده شده است.
چارت های کره زمین به عنوان یک منیفلد
این سطح کره زمین است که نیازمند (حداقل) دو چارت برای دربرگرفتن تمام نقاط آن است. در اینجا کره به دو چارت حول قطب شمال و جنوب تجزیه شده است.

خمینه یا منیفلد (انگلیسی: Manifold، فرانسوی: Variété و آلمانی: Mannigfaltigkeit)؛ فضای توپولوژی است که در هر نقطه به صورت موضعی شبیه فضای اقلیدسی است. به طور دقیق تر، هر نقطه از فضای n-بعدی دارای همسایگی هومئومورف با فضای اقلیدسی n بعدی است. لذا اگر بخواهیم دقیق تر بگوییم یک منیفلد بر اساس توصیف فوق یک n-منیفلد است.

یک منیفلد یک بعدی شامل خطوط و دوایر است، اما شکل عدد هشت انگلیسی منیفلد یک بعدی نیست (چرا که در مرکز عدد هشت انگلیسی دو خم با هم برخورد کرده‌اند و هیچ همسایگی آن با فضای اقلیدسی یک بعدی هومئومورف نیست). منیفلد های دو بعدی را رویه می نامند. به عنوان مثالی از منیفلد های دو بعدی می توان به صفحه، کره، چنبره اشاره کرد که تمام آن ها را می توان در فضای سه بعدی نشاند (بدون این که از خودشان عبور کنند) اما بطری کلاین و صفحه تصویری حقیقی هم منیفلد دو بعدی هستند که نمی توانند برعکس مثال های قبلی در فضای سه بعدی بنشینند (immersion) چون در این صورت الزاماً خودشان را قطع خواهند کرد.

گرچه که یک منیفلد به صورت موضعی شباهت به فضای اقلیدسی دارد، یعنی هر نقطه از آن همسایگی ای دارد که با یک زیرمجموعه باز از فضای اقلیدسی هومئومورف است، اما به طور سراسری ممکن است با فضای اقلیدسی هومئومورف نباشد. به عنوان مثال، رویه کره با صفحه اقلیدسی هومئومورف نیست، چرا که (علاوه بر خواص دیگر) خاصیت توپولوژیکی سرتاسری فشردگی را داشته در حالی که فضای اقلیدسی متناظر با آن فشرده نیست، اما در یک ناحیه از کره می توان بوسیله ی نگاشت های تصویری چارت هایی ساخت بین آن ناحیه از کره و صفحه دو بعدی اقلیدسی. زمانی که یک ناحیه در دو چارت همسایه پدیدار گردند، آن دو نمایش به طور دقیق با هم یکی نمی شوند و تبدیلی بینشان نیاز است که به آن نگاشت انتقال می گویند.

مفهوم منیفلد در بسیاری از بخش های هندسه و ریاضی-فیزیک مدرن نقش محوری دارد، چرا که امکان توصیف و فهم ساختار های پیچیده تر را به وسیله خواص توپولوژیکی موضعی ساده تر هندسۀ اقلیدسی را می دهد. منیفلد ها به طور طبیعی در حل مجموعه دستگاه های معادلاتی و نمودار توابع ظاهر می شوند.

منیفلد ها را می توان با ساختار های اضافی مجهز کرد. یک دسته منیفلد های مهم، منیفلد های دیفرانسیل پذیر می باشند؛ این ساختار دیفرانسیل پذیر امکان انجام حساب دیفرانسیل و انتگرال را بر روی منیفلد ها می دهد. یک متر ریمانی روی منیفلد امکان می دهد تا فواصل و زاویه ها را اندازه گیری کرد. منیفلد های سیمپلکتیک به عنوان فضای فازی در فرمالیسم همیلتونی مکانیک کلاسیک عمل می کنند، در حالی که منیفلد های لورنتزی فضازمان را در نسبیت عام مدل می کنند.

مثال های انگیزشیویرایش

یک رویه، منیفلدی دو بعدی است، به این معنا که به صورت موضعی در همسایگی هر نقطه مشابه یک صفحه اقلیدسی می باشد. به عنوان مثال، سطح یک کره را می توان به صورت مجموعه ای از نگاشت ها (که به آن ها چارت می گویند) توصیف کرد، که این چارت ها به کمک هم دیگر اطلسی را برای آن کره تشکیل می دهند. گرچه که هیچ تک نگاشتی کل یک کره را پوشش نمی دهد، هر نقطه از کره با حداقل یک چارت پوشش داده می شود.

بسیاری از مکان‌های کره در بیش از یک چارت ظاهر می شوند. به عنوان مثال، نگاشت امریکای شمالی احتمالاً بخش هایی از امریکای جنوبی و قطب شمال را شامل می شود. این نواحی از کره، توسط چارت های جداگانه ای که آن ها نیز بخش هایی از امریکای شمالی را در بر می گیرند، به طور کامل توصیف می شوند. نگاشتی بین چارت های مجاور وجود دارد که به آن نگاشت گذار می گویند. نگاشت گذار امکان چسباندن چارت های مختلف را به شکل مناسب می دهد، به گونه ای که چارت ها با هم سازگاری داشته باشند و کل کره را پوشش دهند.

توصیف چارت های مختصاتی روی رویه ها، نیازمند دانش توابع دو متغیره است، چرا که این توابع باید ناحیه ای از صفحه را به ناحیه دیگری از صفحه بچسبانند. با این حال، مثال های یک بعدی منیفلد ها (یا همان خم ها) را می توان تنها با توابع تک متغیره توصیف کرد.

منیفلد ها کاربرد هایی در گرافیک رایانه ای و واقعیت افزوده دارند، مثل تعریف کردن مختصات بر روی تصاویر (بافت ها) در تصاویر سی تی اسکن. در واقعیت افزوده، یک تصویر (صفحه مماس) را می توان به صورت یک شیء مختصات دار دید و با استفاده از سنسور ها و تشخیص حرکت و دوران، می توان موقعیت تصویر در فضا را تشخیص داد.

دایرهویرایش

 
شکل 1: چهار چارت، هر کدام بخشی از دایره را روی یک بازه باز می نگارند و همه آن ها با هم کل دایره را پوشش می دهند.

بعد از خط، دایره ساده ترین مثال از منیفلد های توپولوژیک اند. توپولوژی خمیدگی ها را در نظر نمی گیرد، لذا بین قطعه ای از دایره و قطعه ای از یک خط تفاوتی قائل نمی شود. به عنوان مثال، بالای دایره واحد x2 + y2 = 1 را در نظر بگیرید، آنجا که محور y هامثبت هستند (این قسمت در شکل 1 به صورت کمان زرد رنگ نشان داده شده است.) هر نقطه از این کمان را می توان به صورت منحصر به فردی توسط مختصات x آن توصیف کرد. لذا، تصویر آن روی اولین محور مختصاتی، نگاشتی پیوسته و معکوس پذیر خواهد بود که کمان بالایی را به بازه ی باز (1, 1-):

 

چنین توابعی به همراه نواحی بازی که می نگارند را چارت گویند. به طور مشابه، چارت هایی برای قسمت پایین (قرمز)، چپ (آبی) و راست (سبز) دایره وجود دارد:

 

همه این قسمت ها با هم کل دایره را پوشش داده و این چهار چارت یک اطلس را برای دایره تشکیل میدهند.

چارت های بالایی و سمت راست، به ترتیب   و   در دامنه ی خود همپوشانی دارند: اشتراک آن ها در یک چهارم از دایره قرار داشته، آنجا که مختصات   و   مثبت هستند. هر کدام از چارت های مذکور این بخش را به شکل متفاوتی بر روی بازه ی   می نگارند. لذا می توان تابع   را ساخت، به گونه ای که معکوس   مقادیر هم-دامنه ی را به دایره برمی گرداند، سپس نگاشت   آن قسمت از دایره را به بازه بر می گرداند. فرض کنید a یک عدد دلخواه در بازه   باشد:

 

چنین تابعی را نگاشت گذار گویند.

 
شکل 2: یک منیفلد دایره ای، چارت ها در اینجا به صورت خطوط هستند که کل دایره به جز یک نقطه را پوشش می دهند.

چارت های بالا، پایین، چپ و راست نشان می دهند که دایره یک منیفلد است، اما آن ها تنها اطلس ممکن را برای دایره تشکیل نمی دهند. نیاز نیست چارت ها به صورت نگاشت های تصویری تعریف شوند، و تعداد چارت ها نیز تا حدی سلیقه ای می باشند. این چارت ها را در نظر بگیرید:

 

و

 

در اینجا s شیب خطی است که از نقطه ای به مختصات (x,y) به نقطه ی ثابت (1-, 0) رسم شده است؛ t نیز به همین شکل تعریف شده است، با این تفاوت که نقطه ثابت آن (1+, 0)، نگاشت معکوس از s به نقطه ی (xy) به این شکل می باشد:

 

به سادگی می توان بررسی کرد که برای تمام مقادیر s معادله ی x2 + y2 = 1 برقرار خواهد بود. این دو چارت اطلس دوم را برای دایره مثال ما فراهم می کنند که در آن رابطه بین s و t به این شکل خواهد بود:

 

هر چارت فاقد یک نقطه می باشد، یکی فاقد نقطه (1-, 0) برای s، دیگری فاقد نقطه (1+, 0) برای t بوده، لذا هیچ کدام از چارت ها به تنهایی برای پوشش کل دایره کافی نیستند. این نکته که دایره کامل را با یک چارت نمی توان پوشش داد قابل اثبات است. به عنوان مثال، گرچه که امکان ساخت یک دایره از یک بازه باز با چسباندن و همپوشانی انتهای آن ها وجود دارد، اما با این کار یک چارت نساخته ایم، چرا که بخشی از دایره همزمان به دو انتهای بازه نگاشته شده و لذا چارت ها معکوس پذیر نخواهند بود.

جستارهای وابستهویرایش

منابعویرایش