سری دو جمله‌ای

سری دوجمله‌ای یک سری توانی است که در بسط دوجمله‌ای برای اعداد مختلط ظاهر می‌شود:

.[۱]

اگر عددی صحیح و منفی نباشد () تعداد ضرایب بسط دو جمله‌ای محدود و با برابر خواهد بود. در این حالت خاص ضرایب سری همان ضرایب سری دو جمله‌ای هستند.

در حالت کلی‌تر ضرایب با عبارت پایین برابر خواهند بود؛ در اینجا همان فاکتوریل افتان است:

سری مکلورن موردی خاص از سری دوجمله‌ای است. در اینجا که به عبارت پایین بسط پیدا می‌کند:[۲]

.

تاریخویرایش

عمر خیام برای اولین بار سری دوجمله‌ای را برای کل اعداد مثبت در سال ۱۰۷۸ میلادی کشف کرد، این فرمول همان بسط دو جمله‌ای  است.[۳] نیوتن در سال ۱۶۶۹ میلادی سری دو جمله‌ای   را برای هر عدد حقیقی   و تمام مقادیر حقیقی   در فاصله   محاسبه کرد.[۴] آبل در سال ۱۸۶۲ میلادی سری دوجمله‌ای را برای   محاسبه کرد؛ او ثابت کرد که اگر   باشد شعاع همگراییِ سری ۱ خواهد بود.[۵]

رابطه با سری هندسیویرایش

سری هندسی حالتی خاص از سری دو جمله‌ای است. اگر   و   را با   جایگزین کنیم به عبارت پایین می‌رسیم که همان سری هندسی است؛ در اینجا   است:

 

شرایط همگراییویرایش

با فرض اینکه   و   موارد ذیل را می‌توان اثبات کرد:[۶]

  •   مطلقاً همگرا خواهد بود اگر و تنها اگر   یا  .
  • برای   سری مطلقاً همگرا خواهد بود اگر و تنها اگر  
  • برای   سری مطلقاً همگرا خواهد بود اگر و تنها اگر   یا  .

مثال‌هاویرایش

  •  
  •  
  •  
  •  

جستارهای وابستهویرایش

منابعویرایش

  1. Eric W. Weissstein. "Binomial Series". MathWorld--A Wolfram Web Resource. Retrieved 2019-07-10.
  2. I. Bronstein, K. Semendjajew et al. : Taschenbuch der Mathematik. Verlag Harri Deutsch, Frankfurt am Main 2005, ISBN 3-8171-2006-0, S. 434.
  3. Kennedy, E. (1958). “Omar Khayyam”. The Mathematics Teacher, Vol. 59, No. 2 (1966), pp. 140–142.
  4. «Newton binomial - Encyclopedia of Mathematics». encyclopediaofmath.org. دریافت‌شده در ۲۰۲۰-۱۱-۱۴.
  5. Arfken, G. Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, p. 773, 1985.
  6. Otto Forster: Analysis Band 1: Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen. Vieweg-Verlag, 8.  Aufl. 2006, ISBN 3-528-67224-2.