فرمول لایب‌نیتز برای دترمینان

در جبر، فرمولِ لایب‌نیتز، دترمینانِ یک ماتریس مربعی را نشان می‌دهد. فرمول به افتخارِ گوتفرید لایبنیتس ریاضی‌دانِ آلمانی نام‌گذاری شده‌است و عبارت است از:

برایِ یک ماتریسِ n×n که sgn تابع علامتِ مخصوصِ جایگشت‌ها در گروه جایگشت‌هایِ Sn است که مقدارِ +۱ یا -۱ را به ترتیب برایِ جایگشت‌های زوج یا جایگشت‌هایِ فرد برمی‌گرداند.

یک شیوه‌ی رایج دیگر از نشان‌گذاری آن، استفاده از نماد لوی-چیویتا است که با قرارداد جمع‌زنی اینشتین به رابطه‌ی زیر تبدیل می‌شود:

که در بین فیزیک‌دانان کاربرد بیشتری دارد.

اثباتویرایش

قضیه تنها یک تابع چون

 

وجود دارد که پادمتقارن است، نسبت به ستون‌ها خطی است و مقدار آن به ازایِ ماتریس همانی برابر است با ۱:  .

یکتایی: فرض می‌کنیم که   چنین تابعی باشد و قرار می‌دهیم   که یک ماتریسِ   است.   را به عنوانِ  ام از ماتریسِ   می‌خوانیم به عنوان مثال  . بنابراین داریم:  

هم‌چنین قرارداد می‌کنیم که   ستونِ  ام از ماتریسِ یکه را نشان دهد.

حال می‌توانیم هر یک از ستون‌هایِ  را بر حسب   نمایش دهیم:

 .

از آن‌جا که   خطی است داریم:

 

از پادمتقارن بودن ماتریس نتیجه می‌گیریم که اگر   آن‌گاه:

 

As the above sum takes into account all the possible choices of ordered  -tuples  ، and because   implies that F is zero, the sum can be reduced from all tuples to جایگشت as

 

Because F is alternating, the columns   can be swapped until it becomes the identity. The sign function   is defined to count the number of swaps necessary and account for the resulting sign change. One finally gets:

 

as   is required to be equal to  .

Therefore no function besides the function defined by the Leibniz Formula is a multilinear alternating function with  .

Existence: We now show that F, where F is the function defined by the Leibniz formula, has these three properties.

Multilinear:

 

Alternating:

 

Now let   be the tuple equal to   with the   and   indices switched. It follows from the definition of   that  .

 

Finally،  :

 

Thus the only functions which are multilinear alternating with   are restricted to the function defined by the Leibniz formula, and it in fact also has these three properties. Hence the determinant can be defined as the only function

 

with these three properties.

Referencesویرایش

  • "Determinant", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
  • Lloyd N. Trefethen and David Bau، Numerical Linear Algebra (SIAM، 1997).