قاعده هوپیتال

قاعدهٔ هوپیتال یا لوپیتال (به فرانسوی: L'Hôpital)(فرانسوی: [lopital]) در حساب، روشی است که با استفاده از آن می‌توان حد تابع را، در صورت وجود، در نقطه‌ای که مقدار آن ${\tfrac {0}{0}}$ است بدست آورد. در واقع برای رفع ابهام (${\tfrac {0}{0}}$) از این قاعده بهره می‌گیرند.

مثال برای استفاده از قاعدهٔ هوپیتال f(x) = sin(x) و g(x) = −0.5x: تابع h(x) = f(x)/g(x) در x = 0, تعریف نشده است اما حد آن در این نقطه برابر است با h(0) = f′(0)/g′(0) = −2.

پیشینه

یوهان برنولی قراردادی با گیوم دو لوپیتال امضا کرد که به موجب آن می‌بایست کشفیات خود در ریاضیات را برای او بفرستد. نتیجه این شد که مهم‌ترین سهم برنولی در ریاضیات امروزه به نام قاعده هاپیتال و با تلفظ فرانسوی آن: قاعده لوپیتال نامیده می‌شود.

تعریف ریاضی

فرض کنید تابع $\ h$یک تابع کسری باشد؛ به طوری که صورت این کسر برابر تابع $\ f$و مخرج آن برابر تابع $\ g$باشد، اگر حد توابع $\ f$ و $\ g$، صفر یا بی‌نهایت شود(یعنی حد تابع $\ h$ برابر ${\tfrac {0}{0}}$ یا ${\tfrac {\infty }{\infty }}$ باشد)، می‌توان برای رفع ابهام، از صورت ( $\ f$) و از مخرج ( $\ g$) به طور جداگانه مشتق گرفته و هر کدام را در جای خود قرار دهیم و سپس حد تابع جدید را در نقطه مدنظر محاسبه کنیم:

اگر

$\lim _{x\to c}f(x)=\lim _{x\to c}g(x)=0\$

یا

$\lim _{x\to c}f(x)=\lim _{x\to c}g(x)=\pm \infty$

آنگاه

$\lim _{x\to c}h(x)=\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}$

نمونه

${\begin{aligned}\lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}&=\lim _{x\to 0}{\frac {\cos x}{1}}\\&=1\end{aligned}}$

جستارهای وابسته

• شکل نامعلوم
• NaN

منابع

• Carl B. Boyer, A history of mathematics, 2nd edition, by John Wiley & Sons, Inc. , page 420, 1991