قضیه حد مرکزی

قضیه حد مرکزی (به انگلیسی: Central Limit Theorem) در نظریه احتمالات بیان می‌کند که در بیشتر مواقع، مجموع تعدادی متغیر تصادفی مستقل، که هر یک میانگین و واریانس به خوبی تعریف شده دارند، به‌طور تقریبی دارای توزیع نرمال خواهد بود. هرچه تعداد این متغیرهای مستقل افزایش یابد، این تقریب بهتر می‌شود.

مثال: در این مثال فرض شده‌است که $n$ متغیر تصادفی، همگی دارای توزیع احتمال یکنواخت (Uniform Probability Distribution) هستند. بر اساس قضیه حد مرکزی اگر متغیر تصادفی جدیدی $Y$ تعریف شود به‌طوری‌که $Y=X_{1}+X_{2}+\dots +X_{n}$ ، می‌توان اثبات کرد که فارغ از نوع توزیع احتمال اولیهٔ متغیرهای تصادفی (در این مثال توزیع یکنواخت)، توزیع احتمال متغیر جدید، توزیع نرمال خواهد بود.

دنباله $X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}$ از متغیرهای تصادفی مستقل با توزیع یکنواخت پیوسته $D$ را که بر یک فضای احتمال تعریف شده‌اند در نظر بگیرید. فرض کنید میانگین $D$ برابر $\mu$ و انحراف از معیار آن $\sigma$ است. حالا سری $S_{n}=X_{1}+X_{2}+X_{3}+\dots +X_{n}$ را در نظر بگیرید. می‌دانیم که میانگین $S_{n}$ برابر $n\mu$ و انحراف از معیار آن $\sigma {\sqrt {n}}$ است. بر اساس قضیه حد مرکزی $S_{n}$ در بی‌نهایت به سمت توزیع نرمال ${\mathcal {N}}(n\mu ,n{\sigma }^{2})$ میل می‌کند.

جستارهای وابسته

• نظریه احتمالات
• آمار

منابع

• شلدون راس، «مبانی احتمال» مترجمین: دکتر احمد پارسیان و دکتر علی همدانی

پیوند به بیرون

توزیعهای آماری