قضیه وینر-خینشین

در پردازش سیگنال، قضیه وینر-خینشین (که گاهی قضیه وینر-خینشین-اینشتین یا قضیه خینشین-کولموگروف خوانده می‌شود)، بیان می‌کند که خودهمبستگی یک فرایند ایستا در معنای وسیع دارای طیفی برابر با چگالی طیفی توان آن فرایند است.[۱]

پیشینه

این قضیه را اولین بار نوربرت وینر در سال ۱۹۳۰ منتشر کرد[۲]، و الکساندر خینشین به طور مستقل [۳]در سال ۱۹۳۴ آن را کشف و منتشر نمود. گفته می‌شود که آلبرت اینشتین این ایده را در یک نوشته مختصر در سال ۱۹۱۴ پیش بینی کرده بود[۴].

برای فرایندهای پیوسته

برای فرایندهای پیوسته [۵]این قضیه بیان می‌کند که اگر   یک فرایند ایستا در معنای وسیع باشد، به طوری که خودهمبستگی آن که بر حسب امید ریاضی آن به صورت زیر تعریف شده‌است:

 

وجود داشته و به ازای هر مقدار   متناهی باشد، آنگاه یک تابع یک‌نوای   برای بسامدهای   وجود دارد به طوری که:

 

که در آن انتگرال از نوع انتگرال استیلتیس است.

برای فرایندهای گسسته زمان

برای فرایندهای گسسته زمان، چگالی طیف توان تابع   برابر است با

 

که در آن

 

همان تابع گسسته خودهمبستگی   - به شرط مطلقاً انتگرال پذیر بودن   - است.

کاربردها

این قضیه برای بررسی سامانه‌های خطی تغییرناپذیر با زمان هنگام اعمال سیگنال‌هایی که تبدیل فوریه ندارند کاربرد دارد. [۶]

جستارهای وابسته

یادکردها

  1. وینر، نوربرت (۱۹۶۴). سری‌های زمانی. دانشگاه‌ام آی تی.
  2. Wiener, Norbert (1930). "Generalized Harmonic Analysis". Acta Mathematica. ۵۵: ۱۱۷–۲۵۸.
  3. Nahin, Paul J. (2011). Dr. Euler's Fabulous Formula: Cures Many Mathematical Ills. Princeton University Press. pp. ۲۲۵. ISBN 9780691150376.
  4. Jerison, David; Singer, Isadore Manuel; Stroock, Daniel W. (1997). The Legacy of Norbert Wiener: A Centennial Symposium (Proceedings of Symposia in Pure Mathematics). American Mathematical Society. p. ۹۵. ISBN 0-8218-0415-4.
  5. C. Chatfield (1989). The Analysis of Time Series—An Introduction (fourth ed.). Chapman and Hall, London. pp. ۹۴–۹۵. ISBN 0-412-31820-2.
  6. Shlomo Engelberg (۲۰۰۷). Random signals and noise: a mathematical introduction. CRC Press.