ماتریس قطری

در جبر خطی، یک ماتریس قطری (به انگلیسی: Diagonal Matrix) یک ماتریس (معمولاً یک ماتریس مربعی) است که تمام درایه‌های خارج از قطر اصلی(↘) آن همه صفر باشد. درایه‌های قطر اصلی می‌تواند صفر یا غیرصفر باشد. بنابرین ماتریس D = (d_i,j) با n سطر و n ستون قطری است اگر:

$d_{i,j}=0{\mbox{ if }}i\neq j\qquad \forall i,j\in \{1,2,\ldots ,n\}.$

به‌طورمثال ماتریس زیر قطری است:

${\begin{bmatrix}1&0&0\\0&4&0\\0&0&-3\end{bmatrix}}.$

ماتریسی که درایه‌های خارج از قطر فرعی آن صفر باشد ماتریس شبه قطری نامیده می‌شود. عنوان ماتریس قطری گاهی به ماتریس‌های غیرمربعی نیز گفته می‌شود که فقط درایه‌های d_i,i ناصفر (یا صفر) باشند. به‌طور مثال:

${\begin{bmatrix}1&0&0\\0&4&0\\0&0&-3\\0&0&0\\\end{bmatrix}}$، or ${\begin{bmatrix}1&0&0&0&0\\0&4&0&0&0\\0&0&-3&0&0\end{bmatrix}}.$

اگرچه در بقیه مقاله منظور ماتریس مربعی است.

هر ماتریس قطری لزوماً ماتریس متقارن است و ماتریس‌های صفر، همانی، تمام ماتریس‌های یک‌بعدی و اسکالر ماتریس قطری به‌شمار می‌روند.

می‌توان ماتریس قطری را نیز ماتریسی تعریف کرد که بالامثلثی و هم پایین‌مثلثی باشد.

ماتریس اسکالر

ماتریس قطری که تمام درایه‌های قطر اصلی آن برابر باشد یک ماتریس اسکالر نامیده می‌شود و برابر با همان مقدار درایه در ضرب ماتریس‌هاست یا به عبارت دیگر λIکه I ماتریس همانی است. برای مثال ماتریس ۳×۳ اسکالر به این شکل است:

${\begin{bmatrix}\lambda &0&0\\0&\lambda &0\\0&0&\lambda \end{bmatrix}}.$

این ماتریس‌ها در تبدیل واحد نقش تجانس با نسبت λ؛ را به مرکز مبدأ مختصات دارند

عملگرها

دترمینان ماتریس قطری برابر است با حاصلضرب درایه‌های واقع بر قطر آن و برای ماتریس شبه‌قطری $n\times n$برابر است با حاصلضرب درایه‌های واقع بر قطر فرعی ضربدر $(-1)^{\binom {n}{2}}$.

عملگرهای ماتریس‌ها روی ماتریس‌های قطری بسیار ساده عمل می‌کنند به‌طوری مثال ضرب دو ماتریس قطری به صورت زیر است.

${\begin{bmatrix}a&0&0\\0&b&0\\0&0&c\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}d&0&0\\0&e&0\\0&0&f\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a.d&0&0\\0&b.e&0\\0&0&c.f\end{bmatrix}}.$

یک ماتریس قطری وارون‌پذیر است اگر و فقط اگر تمام درایه‌های قطر اصلی آن ناصفر باشند و وارون آن برابر است با: $A={\begin{bmatrix}a&0&0\\0&b&0\\0&0&c\end{bmatrix}}\to A^{-1}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{a}}&0&0\\0&{\frac {1}{b}}&0\\0&0&{\frac {1}{c}}\end{bmatrix}}$

ماتریس الحاقی برای یک ماتریس قطری به صورت زیر است:

$A={\begin{bmatrix}a&0&0\\0&b&0\\0&0&c\end{bmatrix}}\to A^{*}={\begin{bmatrix}bc&0&0\\0&ac&0\\0&0&ab\end{bmatrix}}$

خواص دیگر

ویژه‌مقدارهای ماتریس قطری که قطر اصلی آنa₁, … , a_n باشد برابر است با a₁, … , a_n.

ماتریس الحاقی هر ماتریس قطری نیز خود یک ماتریس قطری است.

یک ماتریس مربعی قطری است اگر و فقط اگر مثلثی و نرمال باشد.

جستارهای وابسته

• ماتریس پادقطری
• ماتریس نواری
• ماتریس دوقطری
• ماتریس سه‌قطری

منابع

• Roger A. Horn and Charles R. Johnson, Matrix Analysis, Cambridge University Press, 1985. ISBN 0-521-30586-1 (hardback), ISBN 0-521-38632-2 (paperback).

• ویکی‌پدیای انگلیسی