مساحت

مَساحَت یا پَهنِه تمام سطح یا کف هر شکل است، که در هندسه یک کمیّت تعیین‌کنندهٔ بزرگیِ یک سطح شکل‌های دوبعدی و سه‌بعدی است.

در هندسه

در هندسه مساحت با این اصل آغاز می‌شود: مساحت یک مربع به طول ۱ برابر است با ۱.

با این اصل می‌توان اثبات ریاضی کرد که مساحت مربعی به ازای هر طولی در دسته اعداد حقیقی؛ با مجذور طول آن ضلع برابر است. برای اثبات این مسئله ریاضی باید یک بار طول ضلع مربع را یک عدد طبیعی بگیرید. سپس ثابت کنید می‌توانیم n² تا مربع به طول ضلع ۱ در این شکل قرار دهیم. سپس طول ضلع را یک عدد گویا بیان می‌کنیم مانند ۱/۲ (یک و دو دهم). بعد ثابت می‌کنید در مربعی به طول ضلع ۱ می‌توان ۲ تا از این مربع‌ها قرار داد. پس در بازه اعداد گویا هم مساحت مربع برابر است با n². بعد باید به سراغ اعداد گنگ برویم مانند رادیکال ۲. اینجا ۲ دنباله صعودی و نزولی تعریف می‌کنید که دنباله صعودی از رادیکال ۲ بزرگ‌تر و یکی دیگر از دنباله‌های کوچک‌تر. (دقت کنید ریاضی‌دان‌ها ابتدا قبل از این کار اثبات می‌کنند عدد رادیکال ۲ وجود دارد. اول تعریف رادیکال ۲ را می‌گویند که هست: عددی که ضربدر خودش می‌شود ۲، سپس ثابت می‌کنند این عدد وجود دارد! سپس حاصل‌ضرب دو عضو این دنباله رو که کمترین اختلاف رو دارند در نظر می‌گیریم. سپس اختلاف این دو دنباله رو کم می‌کنیم (تفریق) طوری که خیلی نزدیک به مساحت مربعی به اندازه ۲ واحد می‌شویم. اینجا با استفاده از قضیه‌های حد (که اثبات دارند) استفاده می‌کنیم و می‌فهمیم باز هم مساحت مربع شده‌است مجذور طول ضلع آن. بعد از اثبات مساحت مربع به همین ترتیب مساحت مستطیل را اثبات می‌کنیم که کمی ساده‌تر است و سپس مثلث و شکل‌های دیگر به همین ترتیب هستند.

فرمول‌های مساحت

فرمول‌های مساحت:

شکل	فرمول	متغیرها
مثلث متساوی الاضلاع	${\tfrac {1}{4}}{\sqrt {3}}s^{2}\,\!$	$s$ طول یک ضلع مثلث است.
مثلث	${\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}\,\!$	$s$ نصف محیط، $a$, $b$ و $c$ طول هر ضلع هستند.
مثلث	${\tfrac {1}{2}}ab\sin(C)\,\!$	$a$ و $b$ دو ضلع دلخواه و $C$ زاویه بین شان است.
مثلث	${\tfrac {1}{2}}bh\,\!$	$b$ و $h$ به ترتیب قاعده و ارتفاع هستند
مربع	$s^{2}\,\!$	$s$ طول یک ضلع مربع است.
مستطیل	$lw\,\!$	$l$ و $w$ به ترتیب اندازه طول و عرض مستطیل هستند.
لوزی	${\tfrac {1}{2}}ab$	$a$ و $b$ طول دو قطر لوزی هستند.
متوازی الاضلاع	$bh\,\!$	$b$ طول قاعده و $h$ ارتفاع عمود بر آن است.
ذوزنقه	${\tfrac {1}{2}}(a+b)h\,\!$	$a$ و $b$ طول دو ضلع موازی و $h$ فاصله بین شان (ارتفاع) است.
شش ضلعی منتظم	${\tfrac {3}{2}}{\sqrt {3}}s^{2}\,\!$	$s$ طول یکی از اضلاع است.
هشت ضلعی منتظم	$2\left(1+{\sqrt {2}}\right)s^{2}\,\!$	$s$ طول یکی از اضلاع است.
چند ضلعی منتظم	${\frac {ns^{2}}{4\cdot \tan(\pi /n)}}\,\!$	$s$ طول یک ضلع و $n$ تعداد اضلاع است.
	${\tfrac {1}{2}}ap\,\!$	$a$ شعاع دایره فرضی محیط بر چندضلعی و $p$ محیط چندضلعی است.
دایره	$\pi r^{2}\ {\text{یا}}\ {\frac {\pi d^{2}}{4}}\,\!$	$r$ شعاع و $d$ قطر است.
قطاع دایره	${\tfrac {1}{2}}r^{2}\theta \,\!$	$r$ و $\theta$ به ترتیب شعاع و زاویه (برحسب رادیان) هستند.
بیضی	$\pi ab\,\!$	$a$ و $b$ دو شعاع بیضی هستند.
مساحت کل یک استوانه	$2\pi r(r+h)\,\!$	$r$ و $h$ به ترتیب شعاع و ارتفاع هستند.
مساحت جانبی استوانه	$2\pi rh\,\!$	$r$ و $h$ به ترتیب شعاع و ارتفاع هستند.
مساحت کل مخروط	$\pi r(r+l)\,\!$	$r$ و $l$ به ترتیب شعاع و مولد مخروط (${\sqrt {r^{2}+h^{2}}}$) هستند.
مساحت جانبی مخروط	$\pi rl\,\!$	$r$ و $l$ به ترتیب شعاع و مولد مخروط (${\sqrt {r^{2}+h^{2}}}$) هستند.
مساحت کل کره	$4\pi r^{2}\ {\text{or}}\ \pi d^{2}\,\!$	$r$ و $d$ به ترتیب شعاع و قطر کره هستند.
مساحت کل کره بیضوی		مانند کره.
مساحت کل هرم	$B+{\frac {PL}{2}}\,\!$	$B$ مساحت قاعده، $P$ محیط قاعده و $L$ ارتفاع عمود بر آن هستند.

یکای مساحت

یکای مساحت بر پایهٔ سیستم SI متر مربع (m²) است و این یکا، برابر مساحت مربعی با ضلع یک متر است.

یکای مساحت در ایران

در قدیم در ایران برای اندازه‌گیری مساحت از یکاهای بومی ایرانی مانند گریب (جریب) استفاده می‌شد. همچنین از واحدهای بزرگتری چون هکتار (معادل ۱۰۰۰۰ متر مربع) و کیلومترمربع برای اندازه‌گیری مساحت استفاده می‌شود. واحد ایکر در سیستم انگلیسی برای اندازه‌گیری سطح به کار می‌رود و هر ایکر برابر ۴۰۴۶٫۸۵۶۴۲ متر مربع می‌باشد. در مورد اندازه جریب نظرهای متفاوتی وجود دارد و در مناطق مختلف این اندازه متفاوت است. معمولاً در گذشته هر جریب معادل با ۱۶۰۰ متر مربع بود. در ایران دوره صفویه، هر جریب معادل ۹۵۶ متر مربع بوده‌است. در دوره قاجار هر جریب تقریباً ۱۰۰۰متر مربع محاسبه می‌شده‌است. در سال ۱۳۰۲ محمدحسن خان صنیع الدوله پیشنهاد نمود اوزان و مقیاسهای سنتی ایران، از جمله جریب، با مقادیر متناسب آن‌ها در نظامهای بین‌المللی برابر شود؛ بنابراین از ۱۳۰۲ به بعد ۱ جریب معادل ۱ هکتار در نظر گرفته شد.

منابع

ویکی‌پدیای انگلیسی en:Area