معادله کوشی–اویلر

معادله کوشی-اویلر (به انگلیسی: Cauchy-Euler equation) یا معادله اویلر-کوشی به معادله دیفرانسیل معمولی خطی همگن با ضرایب متغیر گفته می‌شود. این معادله به صورت زیر بیان می‌شود:

$t^{2}u''+btu'+cu=0$

اگر جواب معادله را به صورت $u=t^{m}$ در نظر بگیریم، به معادله مشخصه زیر می‌رسیم:

$m(m-1)+bm+c=0$

• اگر معادله مشخصه دارای دو ریشه حقیقی $m_{1}$ و $m_{2}$ باشد به دو جواب مستقل $t^{m_{1}}$ و $t^{m_{2}}$ منجر می‌شود. بنابراین جواب کلی معادله به صورت زیر خواهد بود:

$u=c_{1}t^{m_{1}}+c_{2}t^{m_{2}}$

• اگر معادله مشخصه دو ریشهٔ برابر داشته باشد، $t^{m}$ و $t^{m}lnt$ دو جواب مستقل خواهند بود

$u=c_{1}t^{m}+c_{2}t^{m}lnt$

• اگر معادله مشخصه دارای جواب حقیقی نباشد ($m=\alpha \pm i\beta$)، جواب کلی به صورت زیر درمی‌آید:

‎$u=c_{1}t^{\alpha }cos(\beta lnt)+c_{2}t^{\alpha }sin(\beta lnt)$‎

منابع

• J. David Logan, A First Course in Differential Equations, Springer Science+Business Media, Inc. , United States of America, 2006. ISBN 978-0-387-25963-5

جستارهای وابسته

• یادواره‌های لئونارد اویلر