منیفلد ریمانی

در هندسه دیفرانسیل، منیفلد ریمانی (به انگلیسی: Riemannian Manifold) یا فضای ریمانی (به انگلیسی: Riemannian Space) که با $(M,g)$ نشان داده می‌شود، منیفلد هموار حقیقی $M$ است که در هر نقطه $p$، مجهز به ضرب داخلی مثبت-معین $g_{p}$ روی فضای مماس $T_{p}M$ است. قرارداد رایج این است که $g$ هموار در نظر گرفته شود، یعنی برای هر چارت مختصاتی $(U,X)$ روی $M$، توابع زیر (که تعدادشان $n^{2}$ است) هموار خواهند بود:

$g\left({\frac {\partial }{\partial x^{i}}},{\frac {\partial }{\partial x^{j}}}\right):U\to \mathbb {R}$

به همین طریق می‌توان از میان انواع زیادی از گزینه‌های محتمل، متریک‌های ریمانی لیپ‌شیتس یا متریک‌های ریمانی اندازه‌پذیر را در نظر گرفت.

خانواده $g_{p}$ از ضرب‌های داخلی را متریک ریمانی (یا تنسور متریک ریمانی) می‌نامند. این اصطلاحات را براساس نام ریاضیدان آلمانی، برنهارت ریمان نامگذاری نموده‌اند. مطالعه منیفلدهای ریمانی در بحث هندسه ریمانی صورت می‌گیرد.

متریک (تنسور) ریمانی، امکان تعریف چندین مفهوم هندسی را بر روی منیفلدهای ریمانی فراهم می‌آورد، همچون این موارد: زاویه، طول، مساحت و مشابه ابعاد بالاترشان (همچون حجم و …)، انحنای برونزاد (غیر ذاتی) زیرمنیفلدها، و انحنای درونزاد (ذاتی) خود منیفلد.

ارجاعات

• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Riemannian Manifold». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی، بازبینی‌شده در ۶ مهٔ ۲۰۲۱.

منابع

• Lee, John M. (2018). Introduction to Riemannian Manifolds. Springer-Verlag. ISBN 978-3-319-91754-2.
• do Carmo, Manfredo (1992). Riemannian geometry. Basel: Birkhäuser. ISBN 978-0-8176-3490-2.
• Gromov, Misha (1999). Metric structures for Riemannian and non-Riemannian spaces (Based on the 1981 French original ed.). Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA. ISBN 0-8176-3898-9.
• Jost, Jürgen (2008). Riemannian Geometry and Geometric Analysis (5th ed.). Berlin: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-77340-5.
• Shi, Yuguang; Tam, Luen-Fai (2002). "Positive mass theorem and the boundary behaviors of compact manifolds with nonnegative scalar curvature". J. Differential Geom. 62 (1): 79–125.

پیوند به بیرون

• L.A. Sidorov (2001) [1994], "Riemannian metric", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press