نابرابری کوشی–شوارتز

(تغییرمسیر از نابرابری کوشی-شوارتز)

نابرابری کوشی-شوارتز یا نابرابری کوشی-شوارتس-بونیاکوفسکی یک نابرابری پراستفاده در ریاضیات است که در زمینه‌های مختلفی مانند جبر خطی، آنالیز ریاضی و نظریه احتمالات مطرح می‌شود. نابرابری کوشی-شوارتز به عنوان یکی از مهم‌ترین نابرابری‌های ریاضیات شناخته می‌شود[۱] و به نام آگوستین لویی کوشی و هرمن امندوس شوارتز خوانده می‌شود.

بیان نابرابریویرایش

نابرابری کوشی-شوارتز بیان می‌کند که برای هر دو بردار دلخواه x و y در فضای ضرب داخلی داریم:

 

که در آن   ضرب داخلی است. هم‌چنین با گرفتن ریشه دوم طرفین و با توجه به نرم بردارها، نامساوی به شکل زیر نوشته می‌شود:

 

حالت تساوی رخ می‌دهد اگر و فقط اگر x و y وابستهٔ خطی باشند.

به علاوه اگر   و   اعداد مختلط دلخواه باشند، و نماد بار نشان‌دهندهٔ مزدوج مختلط باشد، نابرابری را می‌توان به شکل زیر بازنویسی کرد:

 

منابعویرایش