در ریاضیات همانی جمع (به انگلیسی: Addition identity) یک مجموعه که عملگر جمع برای آن تعریف شده، عضوی است که اگر به هر عضو x از مجموعه اضافه شود، x نتیجه می‌دهد. یکی از آشناترین همانی‌های جمع در ریاضیات ابتدایی (به انگلیسی: Elementary Mathematics) عدد صفر است، اما همانی‌های جمع در دیگر ساختارهای ریاضی که جمع تعریف شده (مانند گروه‌ها و حلقه‌ها) وجود دارند.

نمونه‌های ابتداییویرایش

  • همانی جمع آشنا از ریاضیات ابتدایی صفر است. مثلاً:

 

  • در اعداد طبیعی( ) و همه مجموعه‌هایی که اعداد طبیعی زیر مجموعه آن‌ها است(اعداد صحیح( کسری یا گویا( حقیقی( ) و مختلط( ))، همانی جمع ۰ است. در نتیجه برای هر n از این اعداد داریم:

 

تعریف رسمیویرایش

اگر N مجموعه‌ای باشد که نسبت به عمل جمع بسته‌است، یک همانی جمع برای N هر عضو e است که برای هر عضو n در N داشته باشیم:

 

مثال:  

مثال‌های بیشترویرایش

  • در یک گروه جمع همانی، عنصر همانی گروه است و اغلب با صفر نشان داده می‌شود و یکتاست.
  • یک حلقه یا میدان،یک گروه تحت عمل جمع است و در نتیجه یک همانی جمع یکتا ۰ دارد.این تعریف شده تا از همانی ضرب(۱) در صورتی که حلقه یا میدان بیشتر از ۱ عضو دارد،متفاوت باشد.
  • در چهارگان‌ها، ۰ همانی جمع است.
  • در حلقه‌ی توابع از اعداد حقیقی به اعداد حقیقی، تابعی که هر عدد را به صفر مرتبط می‌کند همانی جمع است.
  • در گروه جابجایی‌پذیر یا آبلی از بردارها در Rn، مرکز یا بردار صفر همانی جمع است.

اثبات‌هاویرایش

همانی جمع در یک گروه یکتاستویرایش

اگر (G,+) یک گروه باشد و 0 و 0' هردو در G همانی جمع باشند،به ازای هر g در G داریم:

 

و:

 

که نتیجه میدهد این دو همانی جمع باهم برابرند و تنها یک همانی جمع داریم.

جستارهای وابستهویرایش