تفاوت میان نسخه‌های «توابع معکوس مثلثاتی»

جز
جز (ربات: حذف میان‌ویکی موجود در ویکی‌داده: ۲۶ میان‌ویکی)
'''تابع‌های وارون مثلثاتی''' در [[ریاضیات]]، [[تابع معکوس|وارون]] [[سینوس (ریاضیات)|تابع‌های مثلثاتی]] اند که طبق تعریف تابع وارون، [[برد (ریاضی)|بُرد]] آن‌ها [[زیرمجموعه|زیرمجموعهٔ]] دامنهٔ تابع اصلی دیگری است. از آنجایی که [[تابع‌های مثلثاتی]] هیچکدام یک به یک نیستند، برای همین برای وارون آن‌ها تابع بماند (به ازای یک ورودی چند خروجی به دست نیاید) باید آن‌ها را محدود کرد (نگاه کنید به [[آزمون خط افقی]]).
 
برای نمونه اگر تعریف کنیم <math>y = \operatorname{arcsin}(x)</math> آنگاه <math>x = \operatorname{sin}(y)</math> است اما به ازایامابازای یک ''x'' یکتا می‌توان چندین ''y'' پیدا کرد که به ازای آن <math>x = \operatorname{sin}(y)</math> شود، مانند ''y'' مساوی صفر، π و ۲π که به ازای همهٔ آن‌ها مقدار سینوس یا ''x'' برابر با صفر است و این به این معنی است که تابع وارون سینوس یا arcsin می‌تواند می‌تواند چندین جواب داشته باشد <math>\operatorname{arcsin}(0)=0, \pi, 2\pi</math> درحالی که این خلاف مفهوم تابع بودن است. برای همین برای تمامی تابع‌های وارون مثلثاتی محدودیت [[برد (ریاضی)|بُرد]] یا خروجی قرار می‌دهیم تا به ازای یک ورودی چندین خروجی نداشته باشند.
 
تابع‌های اصلی در جدول زیر آورده شده‌اند:
!تعریف
!بازهٔ ''x'' برای خروجی های حقیقی
!برد تابع<br /> {{سخ}}([[رادیان]])
!برد تابع<br /> {{سخ}}([[درجه]])
|-
| '''آرک سینوس''' || ''y'' = arcsin&nbsp;''x'' || ''x'' = [[سینوس (ریاضیات)|sin]]&nbsp;''y'' || ۱ ≥ ''x'' ≥ ۱− ||<math>-\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2}</math> || °۹۰ ≥ y ≥ °۹۰-
|-
|}
== رابطهٔ میان تابع‌های وارون مثلثاتی ==
[[پرونده:Arcsine Arccosine.svg|168px|thumbبندانگشتی|نمودار تابع های<math>\operatorname{arcsin}(x)</math> (قرمز) و <math>\operatorname{arccos}(x)</math> (آبی) در صفحهٔ مختصات دکارتی.]]
[[پرونده:Arctangent Arccotangent.svg|294px|thumbبندانگشتی|نمودار تابع های<math>\operatorname{arctan}(x)</math> (قرمز) و <math>\operatorname{arccot}(x)</math> (آبی) در صفحهٔ مختصات دکارتی.]]
[[پرونده:Arcsecant Arccosecant.svg|294px|thumbبندانگشتی|نمودار تابع های<math>\operatorname{arcsec}(x)</math> (قرمز) و <math>\operatorname{arccsc}(x)</math> (آبی) در صفحهٔ مختصات دکارتی.]]
 
زاویه‌های مکمل:
:<math>\arccos (1/x) \,= \arcsec x \,</math>
:<math>\arcsin (1/x) \,= \arccsc x \,</math>
:<math>\arctan (1/x) = \tfrac{1}{2}\pi - \arctan x =\arccot x,\text{ if }x > 0 \,</math>
:<math>\arctan (1/x) = -\tfrac{1}{2}\pi - \arctan x = -\pi + \arccot x,\text{ if }x < 0 \,</math>
:<math>\arccot (1/x) = \tfrac{1}{2}\pi - \arccot x =\arctan x,\text{ if }x > 0 \,</math>
:<math>\arccot (1/x) = \tfrac{3}{2}\pi - \arccot x = \pi + \arctan x,\text{ if }x < 0 \,</math>
:<math>\arcsec (1/x) = \arccos x \,</math>
:<math>\arccsc (1/x) = \arcsin x \,</math>
:<math>\arctan x = \arcsin \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} </math>
{{پایان چپ‌چین}}
هرگاه از ریشهٔ دوم یک [[عدد مختلط]] استفاده شد، باید ریشهٔ با بخش حقیقی مثبت را انتخاب کرد (یا بخش موهومی مثبت، اگر خود آن، [[عدد حقیقی]] منفی بود).
 
با استفاده از رابطهٔ [[رابطه‌های نیم-زاویه|نیم-زاویه]] <math>\tan \frac{\theta}{2} = \frac{\sin \theta}{1+\cos \theta} </math> خواهیم داشت:
:<math>\arcsin x = 2 \arctan \frac{x}{1+\sqrt{1-x^2}}</math>
 
:<math>\arccos x = 2 \arctan \frac{\sqrt{1-x^2}}{1+x},\text{ if }-1 < x \leq +1 </math>
 
:<math>\arctan x = 2 \arctan \frac{x}{1+\sqrt{1+x^2}}</math>
{{پایان چپ‌چین}}
== رابطه‌های میان تابع‌های مثلثاتی و تابع‌های وارون مثلثاتی ==
{{چپ‌چین}}
:<math>\sin (\arccos x) = \cos(\arcsin x) = \sqrt{1-x^2}</math>
{{پایان چپ‌چین}}
 
== راه حل کلی ==
تابع‌های مثلثاتی در مجموعهٔ اعداد حقیقی، همگی تابع‌های متناوب اند و در بازه‌هایی به اندازهٔ ۲π مقدار همهٔ آن‌ها مرتب تکرار می‌شود. [[دورهٔ تناوب]] تابع‌های سینوس و کسکانت از ۲πk − π/۲ (به ازای kهای عضو مجموعهٔ اعداد صحیح) شروع می‌شود و در ۲πk + π/۲ تمام می‌شود، درنتیجه مقدار تابع میان بازهٔ ۲πk + π/۲ تا ۲πk + ۳π/۲ دوباره بر روی خودش باز می‌گردد. دورهٔ تناوب کسینوس و سکانت از ۲πk شروع می‌شود و در ۲πk + π تمام می‌شود و مقدار تابع در فاصلهٔ میان ۲πk + π تا ۲πk + ۲π دوباره بر روی خودش باز می‌گردد. دورهٔ تناوب تانژانت از ۲πk − π/۲ شروع می‌شود و در ۲πk + π/۲ تمام می‌شود و مقدار تابع به ازای بازه‌های ۲πk + π/۲ تا ۲πk + ۳π/۲ مرتب تکرار می‌شود. دورهٔ تناوب کتانژانت از ۲πk شروع می‌شود و در ۲πk + π تمام می‌شود، و تابع به ازای بازه‌های ۲πk + π تا ۲πk + ۲π بر روی خودش باز می‌گردد.
 
این تناوب در تابع‌های وارون نیز به همین ترتیب ادامه دارد، با فرض اینکه ''k'' عدد صحیحی است داریم:
 
{{پایان چپ‌چین}}
== مشتق تابع‌های وارون مثلثاتی ==
{{نوشتار اصلی|مشتق تابع‌های مثلثاتی}}
[[مشتق]] ساده این نوع تابع‌ها، به ازای ''x''‌هایهای مختلط و حقیقی به قرار زیر است:
{{چپ‌چین}}
:<math>
\end{align}</math>
{{پایان چپ‌چین}}
رابطه‌های زیر ویژهٔ ''x''‌هایهای حقیقی است:
{{چپ‌چین}}
:<math>
\begin{align}
\frac{d}{dx} \arcsec x & {}= \frac{1}{|x|\,\sqrt{x^2-1}}; \qquad |x| > 1\\
\frac{d}{dx} \arccsc x & {}= \frac{-1}{|x|\,\sqrt{x^2-1}}; \qquad |x| > 1
\end{align}</math>
{{پایان چپ‌چین}}
:<math>\frac{d \arcsin x}{dx} = \frac{d \theta}{d \sin \theta} = \frac{1} {\cos \theta} = \frac{1} {\sqrt{1-\sin^2 \theta}} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}</math>
{{پایان چپ‌چین}}
== استفاده از انتگرال‌های معین ==
عبارت انتگرالی برابر با تابع‌های وارون مثلثاتی به قرار زیر است:
{{چپ‌چین}}
<!-- When x equals 1, the integrals with limited domains are improper integrals, but still well-defined. -->
 
== سری‌های نامتناهی ==
مانند تابع سینوس و کسینوس، وارون این توابع را نیز می‌توان به کمک [[سری (ریاضیات)|سری‌های نامتناهی]] محاسبه کرد:
{{چپ‌چین}}
:<math>\arctan z = \sum_{n=0}^\infty \frac{2^{\,2n}\,(n!)^2}{\left(2n+1\right)!} \; \frac{z^{\,2n+1}}{\left(1+z^2\right)^{n+1}}</math>
{{پایان چپ‌چین}}
== انتگرال نامعین تابع‌های وارون مثلثاتی ==
برای تمامی ''x''‌هایهای حقیقی و مختلط، رابطه‌های زیر برقرار است:
{{چپ‌چین}}
:<math>
\end{align}</math>
{{پایان چپ‌چین}}
تنها برای ''x'' ≥ ۱ که عضو [[مجموعه اعداد حقیقی]] اند:
{{چپ‌چین}}
:<math>
{{پایان چپ‌چین}}
تمامی رابطه‌های بالا به کمک انتگرال‌گیری جزء به جژء قابل دستیابی است.
=== نمونه ===
با استفاده از <math>\int u\,\mathrm{d}v = u v - \int v\,\mathrm{d}u</math> داریم:
{{چپ‌چین}}
:<math>\int \arcsin(x)\, \mathrm{d}x = x \arcsin x + \sqrt{1-x^2}+C </math>
{{پایان چپ‌چین}}
==منبع منابع ==
{{پانویس}}
*{{یادکرد-ویکی
|پیوند = http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Inverse_trigonometric_functions&oldid=448957655
|بازیابی = ۷ سپتامبر ۲۰۱۱
}}
== جستارهای وابسته ==
* [[سینوس (ریاضیات)]]
* [[فهرست اتحادهای مثلثاتی]]
[[رده:توابع ریاضی]]
[[رده:مثلثات]]
[[رده:ویکی‌سازی رباتیک]]