ویکی‌پدیا

توزیع نرمال: تفاوت میان نسخه‌ها

نمایش تاریخچه به صورت تعاملی
→ تفاوت قدیمی‌ترتفاوت جدیدتر ←
محتوای حذف‌شده محتوای افزوده‌شده
دیداریویکی‌متن
برنامه درسی (بحث | مشارکت‌ها)
۳۵۴ ویرایش‌ها
جز برنامه درسی صفحهٔ توزیع نرمال را به توزیع طبیعی منتقل کرد: معادل فارسی
برنامه درسی (بحث | مشارکت‌ها)
۳۵۴ ویرایش‌ها
بدون خلاصۀ ویرایش
خط ۱:
{{بهبود منبع}}
{{توزیع احتمال|
name =توزیع نرمالطبیعی|
type =چگالی|
pdf_image =[[پرونده:Normal Distribution PDF.svg|325px|تابع چگالی احتمالی برای توزیع نرمالطبیعی]]{{سخ}}<small>خط قرمز: توزیع نرمالطبیعی استاندارد</small>|
cdf_image =[[پرونده:Normal Distribution CDF.svg|325px|تابع توزیعی تجمعی برای توزیع نرمالطبیعی]]{{سخ}}<small>رنگ‌ها با نمودار بالا همخوانی دارند</small>|
parameters =<math>\mu</math> [[پارامتر مکان|مکان]] ([[عدد حقیقی|حقیقی]]){{سخ}}<math>\sigma^2>0 </math> توان دوم [[پارامتر مقیاس|مقیاس]] (حقیقی)|
support =<math>x \in (-\infty;+\infty)\!</math>|
خط ۲۰:
}}
 
:''این مقاله در مورد توزیع نرمالطبیعی تک متغیره است. برای مشاهدهء توزیع بردارهای نرمال،طبیعی، [[توزیع نرمالطبیعی چند متغیره]] را مشاهده کنید.''
 
'''توزیع نرمالطبیعی '''، یکی از مهمترین [[توزیع احتمال|توزیع‌های احتمالی]] [[پیوسته]] در [[نظریه احتمالات]] است. علت نام‌گذاری و همچنین اهمیت این توزیع، هم‌خوانی بسیاری از مقادیر حاصل شده، هنگام نوسان‌های طبیعی و فیزیکی پیرامون یک مقدار ثابت با مقادیر حاصل از این توزیع است. دلیل اصلی این پدیده، نقش توزیع نرمالطبیعی در [[قضیه حد مرکزی|قضیهٔ حد مرکزی]] است. به زبان ساده، در [[قضیهٔ حد مرکزی]] نشان داده میشود که تحت شرایطی، مجموع مقادیر حاصل از متغیرهای مختلف که هرکدام میانگین و پراکندگی متناهی دارند، با افزایش تعداد متغیرها، دارای توزیعی بسیار نزدیک به توزیع نرمالطبیعی است. این قانون که تحت شرایط و مفروضات طبیعی نیز برقرار است، سبب شده که برایند نوسان‌های مختلفِ تعداد زیادی از متغیرهای ناشناخته، در طبیعت به صورت توزیع نرمالطبیعی آشکار شود. بعنوان مثال، با اینکه متغیرهای زیادی بر میزان خطای اندازه‌گیریِ یک کمیت اثر میگذارند، (مانند خطای دید، خطای وسیله اندازه‌گیری، شرایط محیط و ...) اما با اندازه‌گیری های متعدد، برایند این خطاها همواره دارای توزیع نرمالطبیعی است که حول مقدار ثابتی پراکنده شده است.مثال‌های دیگری از این نوسان‌های طبیعی، طول قد، وزن یا [[بهره هوشی|بهرهٔ هوشی]] افراد است.
 
این توزیع گاهی به دلیل استفادهٔ [[کارل فردریک گاوس]] از آن در کارهای خود با نام توزیع یا تابع گوسی (گاوسی) نامیده می‌شود؛ همچنین به دلیل شکل [[تابع توزیع احتمال|تابع احتمال]] این توزیع، با نام انحنای زنگوله‌ای (زنگدیس) نیز معروف است.
 
تابع احتمال این توزیع دارای دو پارامتر است که یکی تعیین کنندهٔ مکان (μ) و دیگری تعیین کنندهٔ [[پارامتر مقیاس|مقیاس]] (σ) توزیع هستند. همچنین [[میانگین حسابی|میانگین]] توزیع با [[پارامتر مکان]] و [[انحراف معیار|پراکندگی]] آن با [[پارامتر مقیاس]] برابر است. منحنی تابع احتمال حول میانگین توزیع متقارن است. در حالت خاص اگر {{nowrap|1=''μ'' = 0}} و {{nowrap|1=''σ'' = 1}} باشد توزیع، '''نرمالطبیعی استاندارد''' نامیده می‌شود.
 
== مشخصات ==
خط ۳۲:
 
=== تابع چگالی احتمال ===
تابع چگالی احتمال توزیع نرمالطبیعی با پارامترهای μ و {{nowrap|1=''σ''<sup>2</sup>}} به صورت زیر است :
: <math>
f(x;\,\mu,\sigma^2) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \, e^{-(x-\mu)^2\!/(2\sigma^2)},
خط ۴۳:
=== گشتاورها ===
 
گشتاورهای توزیع نرمالطبیعی از هر مرتبه‌ای تعریف شده‌اند. یعنی {{nowrap|E{{!}}''X''{{!}}<sup>''p''</sup>}} برای هر ''p'' که {{nowrap|Re[''p'']> −1}} وجود دارد.
{{چپ‌چین}}
* <math>
خط ۶۷:
 
اگر <math>X \sim N(\mu, \sigma^2)\,\!</math> و a,b هر دو از [[اعداد حقیقی]] باشند، آنگاه <math>a X + b \sim N(a \mu + b, (a \sigma)^2)\,\!</math>{{سخ}}
اگر <math>X \sim N(\mu_X, \sigma^2_X)</math> و <math>Y \sim N(\mu_Y, \sigma^2_Y)</math> [[متغیرهای تصادفی]] نرمالطبیعی مستقل باشند آنگاه:
* مجموع آنها دارای توزیع نرمالطبیعی است: <math>U = X + Y \sim N(\mu_X + \mu_Y, \sigma^2_X + \sigma^2_Y)</math>.
* اختلاف آنها نیز دارای توزیع نرمالطبیعی است: <math>V = X - Y \sim N(\mu_X - \mu_Y, \sigma^2_X + \sigma^2_Y)</math>.
* اگر واریانس <math>X</math> و <math>Y</math> یکی باشد، آنگاه <math>U</math> و <math>V</math> از هم مستقل هستند.
 
== خصوصیات ==
[[پرونده:Standard deviation diagram.svg|انگشتی|300پیکسل|قسمت آبی تیره در فاصلهٔ یک برابر انحراف معیار از میانگین توزیع قرار دارد و قسمت آبی روشن و آبی تیره به طور توام، در فاصلهٔ دو برابر انحراف معیار از میانگین توزیع قرار دارند. در توزیع نرمال،طبیعی، اولی برابر با ۶۸٪ سطح زیر نمودار و دومی برابر با ۹۵٪ سطح زیر نمودار است.]]
تقریباً ۶۸٪ از کل اعدادی که از یک توزیع نرمالطبیعی گرفته شوند، فاصله‌ای برابر یا کمتر از یک برابر [[انحراف معیار]] توزیع نسبت به میانگین توزیع دارند. تقریباً ۹۵٪ از کل اعدادی که از یک توزیع نرمالطبیعی گرفته شوند، فاصله‌ای برابر یا کمتر از دو برابر انحراف معیار توزیع نسبت به میانگین توزیع دارند.
 
== محاسبهٔ احتمال متغیرهای نرمالطبیعی نااستاندارد ==
اگر X یک توزیع نرمالطبیعی نااستاندارد با انحراف معیار σ و امیدریاضی μ باشد، می‌توان ثابت کرد تبدیل زیر از X یک توزیع نرمالطبیعی استاندارد می‌سازد:<ref>{{یادکرد کتاب | عنوان=آمار و احتمال مقدماتی | ناشر=دانشگاه امام رضا(ع)-مشهد | تاریخ بازبینی=۰۹ ژانویه ۲۰۱۲ | شابک=964-6582-02-8 | فصل=چند توزیع مهم و ارتباط آن‌ها با هم | مکان=محاسبه احتمال برای متغیرهای غیر استاندارد | نام=جواد | نام خانوادگی=بهبودیان | صفحه=۲۰۴}}</ref>
{{چپ‌چین}}
<math>Z=\frac{X-\mu}{\sigma}
خط ۹۲:
<math>P(X<3)=P(\frac{X-\mu}{\sigma}<\frac{3-2}{3})\approx P(Z<0.33)=0.6293</math>
{{پایان چپ‌چین}}
(مقدار {{چر}}P(Z<0.33){{چر}} از روی جداول چگالی توزیع نرمالطبیعی استاندارد و یا با محاسبهٔ مستقیم سطح زیر نمودار آن از بازهٔ منفی بینهایت تا ۰٫۳۳ بدست می‌آید)
 
== منابع ==
خط ۱۰۵:
[[رده:توزیع نرمال]]
[[رده:توزیع مزدوج پیشین]]
[[رده:توزیع‌های پیوسته|نرمالطبیعی]]
[[رده:توزیع‌های خانواده نمایی]]
{{Link GA|fr}}
برگرفته از «https://fa.wikipedia.org/wiki/توزیع_نرمال»