ویکی‌پدیا

معادله شرودینگر: تفاوت میان نسخه‌ها

نمایش تاریخچه به صورت تعاملی
→ تفاوت قدیمی‌ترتفاوت جدیدتر ←
محتوای حذف‌شده محتوای افزوده‌شده
دیداریویکی‌متن
جز ویرایش 81.31.230.91 (بحث) به آخرین تغییری که Ahmad1375 انجام داده بود واگردانده شد
کمی مرتب کردن متن و روابط
خط ۱:
{{مکانیک کوانتومی}}
این متن برگرفته از متن اصلی ویکی پدیا [['''Schrödinger equation''']] است .
'''معادله شرودینگر'''، معادله ای است که چگونگی تغییر [[حالت کوانتومی]] یک سامانه فیزیکی با زمان را توصیف می کند. این معادله در اواخر سال 1925۱۹۲۵ فرمول بندی شد و در سال 1926 به۱۹۲۶ وسیلهتوسط فیزیکدان اتریشی [[اروین شرودینگر]] منتشر گردید.▼
 
در [[مکانیک کلاسیک،کلاسیک]]، معادله حرکتحرکت، [[قانون دوم نیوتن]] است و فرمولبندی های معادل آن، معادله اویلر-لاگرانژ و معادله هامیلتون هستند. در همه این فرمول بندی ها، برای حل حرکت یک سیستم مکانیکی و پیشگویی ریاضی اینکه سامانه در هر زمان پس از شرایط و پیکربندی های اولیه سیستم چه حالتی خواهد داشت، استفاده می شوند.▼
== معادلهٔ شرودینگر ==
در مکانیک کوانتومی حالتمشابه آنالوگقانون قانوندوم نیوتننیوتن، معادله شرودینگر برای یک سامانه کوانتومی،کوانتومی (معمولاً اتم ها، مولکولها، ذرات ریز اتمی (آزاد، بسته، موضعی) ) است. این معادله یک معادله جبری ساده نیست ولی (عموماً) یک معادله دیفرانسیل جزئی خطی است. معادله دیفرانسیل شامل [[تابع موج]] برای سیستم است. همچنینکه حالت کوانتومی یا بردار حالت نیز نامیده می شود.▼
 
▲''معادله شرودینگر''، معادله ای است که چگونگی تغییر حالت کوانتومی یک سامانه فیزیکی با زمان را توصیف می کند. این معادله در اواخر سال 1925 فرمول بندی شد و در سال 1926 به وسیله فیزیکدان اتریشی اروین شرودینگر منتشر گردید.
▲در مکانیک کلاسیک، معادله حرکت قانون دوم نیوتن است و فرمولبندی های معادل آن، معادله اویلر-لاگرانژ و معادله هامیلتون هستند. در همه این فرمول بندی ها، برای حل حرکت یک سیستم مکانیکی و پیشگویی ریاضی اینکه سامانه در هر زمان پس از شرایط و پیکربندی های اولیه سیستم چه حالتی خواهد داشت، استفاده می شوند.
▲در مکانیک کوانتومی حالت آنالوگ قانون نیوتن معادله شرودینگر برای یک سامانه کوانتومی، معمولاً اتم ها، مولکولها، ذرات ریز اتمی (آزاد، بسته، موضعی) است. این معادله یک معادله جبری ساده نیست ولی (عموماً) یک معادله دیفرانسیل جزئی خطی است. معادله دیفرانسیل شامل تابع موج برای سیستم است. همچنین حالت کوانتومی یا بردار حالت نامیده می شود.
در تفسیر استاندارد از مکانیک کوانتومی، تابع موج کاملترین توضیحی است که می توان در مورد یک سامانه فیزیکی داد. راه حل های معادله شرودینگر نه تنها سامانه های مولکولی، اتمی و ریز اتمی را توصیف می کند بلکه سیستم های ماکروسکوپی، حتی کل جهان را نیز توصیف می کنند.
همانند قانون دوم نیوتن، معادله شرودینگر از لحاظ ریاضی می تواند به فرمولبندی های دیگر از جمله مکانیک ماتریسی ورنر هایزنبرگ و فرمولبندی انتگرال سطحی زیمان تبدیل شود. همچنین همانند قانون دوم نیوتون، معادله شرودینگر زمان را به طریقی توصیف می کند که برای نظریه های نسبیتی مناسب نیست. مشکلی که در مکانیک ماتریسی به اندازه کافی شدید نیست و در فرمولبندی انتگرال سطحی به طور کامل حضور ندارد.
 
 
== 1-معادله ==
 
'''1.1-معادله وابسته به زمان'''
 
شکل معادله شرودینگر به شرایط فیزیکی بستگی دارد (پایین را برای موارد خاص مشاهده کنید). عمومی ترین شکل آن معادله شرودینگری است که تحول زمانی سیستم را نشان میدهد:
'''معادله وابسته به زمان شرودینگر(عمومی)'''▼
,<math>i \hbar \frac{\partial}{\partial t}\Psi = \hat H \Psi</math>▼
 
{{Equation box 1
که ''[[''Ψ'']]'' تابع موج سیستم کوانتومی، ''i'' واحد موهومی، ''ħ'' ثابت کاهیده پلانک و<math>\hat{H} </math> عملگر هامیلتونی است که انرژی کل به ازای هر تابع موج داده شده را مشخص می کند و شکل های مختلفی را بسته به شرایط، به خود می گیرد.▼
|indent=:
▲ |title='''معادله وابسته به زمان شرودینگر(عمومی)''' ''(کُلی)''
▲ ,|equation=<math>i \hbar \frac{\partial}{\partial t}\Psi = \hat H \Psi</math>
|cellpadding
|border
|border colour = #50C878
|background colour = #ECFCF4}}
 
▲که ''[[''Ψ'']]'' تابع موج سیستم کوانتومی، ''i'' واحد موهومی، ''ħ'' ثابت کاهیده پلانک و<math>\hat{H} </math> عملگر هامیلتونی است که انرژی کل به ازای هر تابع موج داده شده را مشخص می کند و شکل های مختلفی را بسته به شرایط، به خود می گیرد.
معروفترین نمونه آن معادله غیر نسبیتی شرودینگر برای ذره ای که در میدان الکتریکی در حال حرکت است، می باشد (نه در میدان مغناطیسی).
 
▼
{{Equation box 1
'''معادله وابسته به زمان شرودینگر برای ذره غیر نسبیتی مفرد'''▼
|indent=:
,<math>i\hbar\frac{\partial}{\partial t} \Psi(\mathbf{r},t) = \frac{-\hbar^2}{2m}\nabla^2 \Psi(\mathbf{r},t) + V(\mathbf {r},t) \Psi(\mathbf{r},t)</math> ▼
|title='''معادله وابسته به زمان شرودینگر(عمومی)''' ''(برای تک ذره؛ [[مکانیک کوانتومی نسبیتی|غیرنسبیتی]] )''
▲ ,|equation=<math>i\hbar\frac{\partial}{\partial t} \Psi(\mathbf{r},t) = \left [ \frac{-\hbar^2}{2m}\nabla^2 \Psi(\mathbf{r},t) + V(\mathbf {r},t)\right ] \Psi(\mathbf{r},t)</math>
|cellpadding
|border
|border colour = #0073CF
|background colour=#F5FFFA}}
 
 
 
که ''m'' جرم ذره، ''V'' انرژی پتانسیل آن ، <sup>2</sup>∇ لاپلاسین و ''Ψ''تابع موج است (که با دقت بیشتر ، در این متن، تابع موج فضا مکان نامیده می شود). به عبارت دیگر این معادله می تواند اینگونه توصیف شود: "انرژی کل برابر است با انرژی جنبشی بعلاوه انرژی پتانسیل"، اما کلمات شکل نا مأنوسی به دلایلی که در زیر شرح داده شده اند به خود می گیرند.
سطر ۳۰ ⟵ ۴۴:
برای به دست آوردن معادله شرودینگر، عملگر هامیلتونی برای سیستم جهت محاسبه انرژی پتانسیل و انرژی جنبشی ذرات تشکیل دهنده سیستم و جایگذاری در معادله شرودینگر تنظیم شده است. معادله دیفرانسیل جزئی بدست آمده برای تابع موج حل می شود که شامل اطلاعاتی درباره سیستم است.
 
== 1.2-معادله مستقل از زمان ==
 
معادله مستقل از زمان شرودینگر پیش بینی می کند که توابع موج می توانند امواج ایستاده تشکیل دهند که حالتهای ثابت نامیده می شوند. (همچنین به عنوان اربیتال در اربیتالهای اتمی یا مولکولی نامیده می شوند.) این حالت ها به نوبه ی خود مهم هستند. علاوه بر این اگر این حالت های پایا دسته بندی و تفهیم شوند، حل معادله مستقل از زمان شرودینگر برای هر حالت آسان تر می شود. معادله مستقل از زمان شرودینگر حالت های پایا را توصیف می کند. (این معادله فقط زمانی استفاده می شود که خود هامیلتونی وابسته به زمان نیست.)
 
{{Equation box 1
'''معادله مستقل از زمان شرودینگر(عمومی)''' ▼
|indent=:
▲ |title='''معادله مستقل از زمان شرودینگر(عمومی)'''
.|equation=<math>E\Psi=\hat H \Psi</math>
|cellpadding
|border
|border colour = #50C878
|background colour = #ECFCF4}}
▲
 
به بیان دیگر ، در این معادله وقتی که عملگر هامیلتونی به روی تابع موج ''[[''Ψ'']]'' عمل می کند، نتیجه ممکن است با همان تابع موج ''[[''Ψ'']]'' متناسب باشد. اگر اینگونه باشد، ''[[''Ψ'']]'' یک حالت پایا است و ثابت تناسب، ''[[E]]'' انرژی آن حالت ''[[''Ψ'']]'' است.▼
به روایت تقریر ، حالات معادله :
▲وقتی که عملگر هامیلتونی به روی تابع موج ''[[''Ψ'']]'' عمل می کند، نتیجه ممکن است با همان تابع موج ''[[''Ψ'']]'' متناسب باشد. اگر اینگونه باشد، ''[[''Ψ'']]'' یک حالت پایا است و ثابت تناسب، ''[[E]]'' انرژی آن حالت ''[[''Ψ'']]'' است.
معادله مستقل از زمان شرودینگر به تفصیل در زیر بحث شده است. در واژگان جبر خطی این معادله، یک معادله ویژه مقداری است.
 
همانند قبل، مشهور ترین شکل معادله غیر نسبیتی شرودینگر برای یک ذره مفرد متحرک در میدان الکتریکی (نه مغناطیسی) است.
 
{{Equation box 1
'''معادله مستقل از زمان شرودینگر (یک ذره غیر نسبیتی)'''
|indent=:
.<math>E \Psi(\mathbf{r}) = \frac{-\hbar^2}{2m}\nabla^2 \Psi(\mathbf{r}) + V(\mathbf{r}) \Psi(\mathbf{r})</math>▼
▲ |title='''معادله وابستهمستقل بهاز زمان شرودینگر برای(یک ذره غیر نسبیتی مفرد''')
▲ .|equation=<math>E \Psi(\mathbf{r}) = \left[ \frac{-\hbar^2}{2m}\nabla^2 \Psi(\mathbf{r}) + V(\mathbf{r}) \right] \Psi(\mathbf{r})</math>
|cellpadding
|border
|border colour = #0073CF
|background colour=#F5FFFA}}
 
تعاریف همانند بالا هستند.
 
== 2-مفاهیم ==
 
معادله شرودینگر و روش های آن شامل یک موفقیت در تفکر فیزیک شد. این معادله در نوع خود اولین بود و راه حل های آن منجر به خاصیت های غیر معمول و غیر منتظره ای برای زمان شد.
 
== 2.1-انرژی کل، جنبشی و پتانسیل ==
 
شکل کلی معادله، غیر معمول و غیر منتظره نیست، معادله شرودینگر می تواند به عنوان (انرژی پتانسیل + انرژی جنبشی = انرژی کل) تفسیر شود.
این رابطه دقیقاً مانند فیزیک کلاسیک است. به عنوان مثال یک ترن هوایی بدون اصطکاک انرژی کل ثابتی دارد، بنابراین هنگامی که در ارتفاع بالا قرار دارد ( انرژی پتانسیل بالا)، آهسته تر حرکت می کند (انرژی جنبشی کم) و بر عکس.
 
== 2.2-کوانتش ==
 
معادله شرودینگر پیشبینی می کند اگر خواص مشخصی از سیستم اندازه گیری شوند، نتیجه ممکن است کوانتیده باشد به این معنی که تنها مقادیر گسسته خاصی می تواند امکان بیافتد. یک مثال از کوانتش انرژی است:
سطر ۶۲ ⟵ ۸۹:
همه ی اندازه گیری ها نتیجه کوانتیده در مکانیک کوانتومی ندارند. به عنوان مثال مکان، تکانه، زمان و انرژی (گاهی اوقات) می توانند هر مقداری در یک بازه ی پیوسته داشته باشند.
 
== 2.3-اندازه گیری و عدم قطعیت ==
 
در مکانیک کلاسیک، هر ذره در هر لحظه، یک تکانه و مکان دقیق دارد. این مقادیر به طور دقیق هنگامی که ذره با توجه به قوانین نیوتن حرکت می کند، تغییر می کند. در کوانتوم مکانیک، ذرات ویژگی های مشخصی به طور دقیق ندارند و زمانی که انداره گیری می شوند نتیجه از یک توزیع احتمال پیروی می کند. معادله شرودینگر توزیع احتمالاتی که هستند را پیشگوئی می کند، اما اساساً نمی تواند نتایج را به طور دقیق، برای هر اندازه گیری پیشگوئی کند.
سطر ۶۸ ⟵ ۹۵:
معادله موج شرودینگر تکامل تابع موج یک ذره را توصیف می کند. حتی اگر تابع موج دقیقاً شناخته شده باشد، نتیجه یک اندازه گیری خاص روی آن نادقیق خواهد بود.
 
== 2.4-تونل زنی کوانتومی ==
 
در فیزیک کلاسیک، هنگامی که یک توپ به آرامی به سمت یک تپه می غلتد، انتظار می رود که توقف کند و بازگردد، زیرا انرژی کافی برای برای عبور به آن طرف ندارد. با این حال معادله شرودینگر پیشگوئی می کند که احتمال کمی برای اینکه توپ به آن سوی تپه برود وجود دارد حتی اگر انرژی کمی برای رسیدن به قله داشته باشد. که این تونل زنی کوانتومی نامیده می شود. تونل زنی کوانتومی به اصل عدم قطعیت ارتباط دارد: اگر چه توپ به نظر می رسد که در یک طرف تپه باشد، مکان آن نامشخص است بنابراین شانس این که توپ در طرف دیگر باشد، وجود دارد.
 
== 2.5-ذرات به عنوان موج ==
 
معادله دیفرانسیل غیر نسبیتی شرودینگر نوعی معادله دیفرانسل جزئی است که معادله موج نامیده می شود. بنابراین ذرات رفتاری که معمولاً به امواج نسبت داده می شوند، از خود نشان می دهند.
سطر ۸۱ ⟵ ۱۰۸:
خاصیت برهم نهی به ذرات اجازه می دهد که در یک برهم نهی کوانتومی در حالت های متفاوت چند گانه در یک زمان باشد، به عنوان مثال یک ذره می تواند چندین انرژی مختلف در یک زمان معین داشته باشد و می تواند در چندین حالت مختلف در یک زمان باشد. در مثال بالا یک ذره می تواند از میان دو شکاف در یک زمان عبور کند .
 
== 3-تفسیر تابع موج ==
 
معادله شرودینگر راهی برای بدست آوردن تابع موج محتمل از یک سیستم و چگونگی تفسیر پویای آن با زمان فراهم می کند. اگر چه معادله شرودینگر مستقیماً نمی گوید که تابع موج دقیقاً چیست . تفسیر مکانیک کوانتومی سوالاتی مانند اینکه چه رابطه ای میان تابع موج هست که اساس واقعی دارد و حاصل اندازه گیری های تجربی است، را مشخص می کند.
یک جنبه مهم رابطه ی میان معادله شرودینگر و فروریزش تابع موج است. در گذشته کپنهاگ می گفت : ذرات از معادله شرودینگر پیروی می کنند به جز در طول فروریزش تابع موج که در آن مقطع به طور کاملاً متفاوتی رفتار می کند. ظهور نظریه کوانتومی decoherance اجازه داد تا روش های جایگزین در جایی که معادله ی شرودینگر اغنا می شود، فروریزش تابع موج باید از نتیجه معادله شرودینگر توضیح داده شود.
 
== 5-معادله موج برای ذرات ==
 
معادله شرودینگر بر اساس فرضیه دوبروی توسعه یافت و معادله ی بیانگر ذرات که می توانست در این راه تولید شود بود برای استخراج بیشتر در حالت ریاضی معادله شرودینگر می توانید این را هم ببینید.
 
== 5.1-فرضیات ==
 
پایستگی انرژی: انرژی کل ذرات متشکل از جمع انرژی جنبشی و انرژی پتانسیل است. این جمع معادل هامیلتونی در مکانیک کلاسیک است :
 
.<math>E = T + V =H \,\!</math>
 
در حقیقت برای ذرات در یک بعد با موقعیت مکان ''x'' جرم ''m'' و تکانه ''P'' و انرژی پتانسیل ''V'' عموماً با موقعیت زمان ''t'' تغییر می کند
 
.<math> E = \frac{p^2}{2m}+V(x,t)=H</math>
 
برای سه بعدی ها بردار مکان '''r''' و بردار تکانه ی '''P''' باید استفاده شود.
 
،<math>E = \frac{\bold{p}\cdot\bold{p}}{2m}+V(\bold{r},t)=H</math>
 
این معادله می تواند برای هر تعداد ذره ثابت گسترش یابد:
انرژی کل، پس حاصل جمع انرژی های جنبشی کل، به علاوه انرژی پتانسیل است. که همام هامیلتونی می باشد. اگرچه هامیلتونی می تواند فعل و انفعالات میان ذرات (یک مسئله چند ذره ای) باشد. بنابراین انرژی پتانسیل V می تواند در پیکر بندی فضایی ذرات و احتمالاً تغییر زمان، تغییر کند انرژی پتانسیل در کل از مجموع انرژی پتانسیل برای هر ذره تشکیل نشده است. این یک تابع برای موقعیت فضایی هر ذره است در واقع:
 
.<math>E=\sum_{n=1}^N \frac{\bold{p}_n\cdot\bold{p}_n}{2m_n} + V(\bold{r}_1,\bold{r}_2\cdots\bold{r}_N,t) = H \,\!</math>
 
== روابط دوبروی ==
سطر ۱۱۳ ⟵ ۱۴۰:
فرضیه کوانتوم نور انیشتین (1905) بیانگر این است که انرژی ''E'' یک فوتون متناسب است با بسامد ''ν'' (یا بسامد زاویه ای ''ω''&nbsp;=&nbsp;2π''ν'') که به بسته های موج کوانتومی نور، مربوط می شود
 
.<math>E = h\nu = \hbar \omega \,\!</math>
 
همانند فرضیه دوبروی (1924) بیانگر این است که هر ذره می تواند با یک موج و تکانه P ذره از طریق رابطه زیر ارتباط داشته باشد با طول (''λ'') یک موج کذایی در یک بعد:
سطر ۱۲۱ ⟵ ۱۴۸:
در سه بعد:
 
,<math>\mathbf{p} = \frac{h}{\lambda} = \hbar \mathbf{k}\;</math>
 
که '''k''' بردار موج است (و طول موج با اندازه ی '''k''' ارتباط دارد.)
 
== 5.2-روشی برای معادله ==
 
معادله شرودینگر یک معادله موج ریاضی است که بر اساس حرکت های موج پاسخ داده شده است. در حالت عادی معادله موج در فیزیک می تواند از قوانین دیگر فیزیکی، مشتق گیری شود.
سطر ۱۳۲ ⟵ ۱۵۹:
رابطه پلانک – انیشتین و دوبروی:
 
,<math>E=\hbar\omega, \quad \bold{p}=\hbar\bold{k} </math>
 
رابطه ای میان فضا با تکانه، انرژی با زمان را مشخص می کند. که اگر در معادلات بالا ħ'' = 1'' معادلات زیر بدست می آید:
 
.<math>E=\omega, \quad \bold{p}=\bold{k} </math>
 
انرژی و بسامد زاویه ای هر دو یک بعد دارند که با زمان رابطه مستقیمی دارند، تکانه و ععد موج هر دو با طول موج رابطه عکسی دارند .
در اواخر 1925 نظریه ی شرودینگر بیانگر این بود که فاز امواج تخت، مانند فاکتور فازی پیچیده در این روابط استفاده می شود.
 
.<math>\Psi = Ae^{i(\bold{k}\cdot\bold{r}-\omega t)} = Ae^{i(\bold{p}\cdot\bold{r}-Et)/\hbar} </math>
 
و برای دانستن مشتقات جزئی مرتبه اول نسبت به مکان:
 
.<math> \nabla\Psi = \dfrac{i}{\hbar}\bold{p}Ae^{i(\bold{p}\cdot\bold{r}-Et)/\hbar} = \dfrac{i}{\hbar}\bold{p}\Psi </math>
 
و زمان:
 
.<math> \dfrac{\partial \Psi}{\partial t} = -\dfrac{i E}{\hbar} Ae^{i(\bold{p}\cdot\bold{r}-Et)/\hbar} = -\dfrac{i E}{\hbar} \Psi </math>
 
حاکی از مشتقات
 
:<math> \begin{matrix} -i\hbar\nabla\Psi = \bold{p}\Psi & \rightarrow & -\dfrac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\Psi = \dfrac{1}{2m}\bold{p}\cdot\bold{p}\Psi \\
\dfrac{\partial \Psi}{\partial t} = -\dfrac{i E}{\hbar} \Psi & \rightarrow & i\hbar\dfrac{\partial \Psi}{\partial t} = E \Psi \\
\end{matrix} </math>
سطر ۱۵۹ ⟵ ۱۸۶:
با ضرب ''Ψ'' در معادله انرژی
 
،<math>E= \dfrac{\bold{p}\cdot\bold{p}}{2m}+V \rightarrow E\Psi= \dfrac{\bold{p}\cdot\bold{p}}{2m}\Psi+V\Psi</math>
 
بلافاصله معادله شرودینگر به دست می آید:
 
.<math>i\hbar\dfrac{\partial \Psi}{\partial t}= -\dfrac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\Psi +V\Psi</math>
 
قیاس منطقی دیگر در مکانیک کوانتومی این است که همه مشاهده گر ها توسط عملگر هایی که روی تابع موج عمل می کنند، نشان داده می شوند. ویژه مقادیر عملگر ها مقادیری هستند که مشاهده گر ها به خود می گیرند. مشتقات قبلی بر اساس مشتقات زمان به عملگر های انرژی ختم می شوند.
 
.<math>\hat{E}= i\hbar\dfrac{\partial}{\partial t} </math>
 
و عملگر تکانه بر اساس مشتقات فضایی:<math>\bold{\hat{p}}= -i\hbar\nabla</math> می باشد.
سطر ۱۷۳ ⟵ ۲۰۰:
انرژی جنبشی ''T'' با مربع تکانه '''p'''رابطه دارد. وقتی تکانه ذره ، افزایش می یابد انرژی جنبشی به سرعت افرایش پیدا می کند. اما وقتی عدد موج '''k''' افزایش پیدا می کند طول موج <math>\scriptstyle \lambda</math> کاهش می یابد
 
.<math> \bold{p}\cdot\bold{p} \propto \bold{k}\cdot\bold{k} \propto T \propto |\nabla^2\Psi| \propto \dfrac{1}{\lambda^2}</math>
 
== 5.3-جواب برای معادله ==
 
جواب عمومی معادله می تواند به راحتی در قسمت پایین دیده شود.امواج تخت قطعاً یک جواب است چون برای بدست آوردن تابع استفاده شده است. همچنین هر ترکیب خطی از امواج ساده یک جواب است. برای هر '''k''' های گسسته، هر ترکیب خطی ، یک بر هم نهی امواج تخت است
 
.<math> \Psi(\bold{r},t) = \sum_{n=1}^\infty A_n e^{i(\bold{k}_n\cdot\bold{r}-\omega_n t)} \,\!</math>
 
و برای '''k''' های پیوسته هر ترکیب خطی، یک انتگرال است که بسط فوریه ی تکانه ی فضایی تابع موج است
 
،<math> \Psi(\bold{r},t) = \frac{1}{(\sqrt{2\pi})^3}\int\Phi(\bold{k})e^{i(\bold{k}\cdot\bold{r}-\omega t)}d^3\bold{k} \,\!</math>
 
که ''d''<sup>3</sup>'''k''' = ''dk<sub>x</sub>dk<sub>y</sub>dk<sub>z</sub>'' می باشد. که انتگرال به روی فضای '''k''' گرفته می شود و تابع موج در فضای تکانه ('''Φ('''k از زیر انتگرال به دست می آید. از آنجایی که اینها معادله شرودینگر را اغنا می کند، جواب معادله شرودینگر برای شرایط داده شده فقط برای بدست آوردن امواج تخت، استفاده نمی شود، بلکه هر تابع موجی که معادله شرودینگر، به دست آمده از سیستم، علاوه بر شرایط مرزی مربوط، را اغنا کند، استفاده می شود. می توان نتیجه گرفت معادله شرودینگر برای شرایطی (غیر نسبیتی) درست است.
 
== 5.4-موج و حرکت ذره ==
 
شرودینگر فرض نکرد که جواب بسته موج (نه فقط برای امواج تخت) در مکان '''r''' و عدد موج '''k''' در طول یک مسیر مشخص شده، توسط مکانیک کلاسیک، در حدی که طول موج کوتاه است <math> \scriptstyle \lambda \,\!</math> حرکت خواهد کرد. برای مثال، برای یک '''k''' بزرگ و در نتیجه '''P''' بزرگ در مقایسه با ثابت کاهیده پلانک ''ħ''. به عبارت دیگر در حدی که ''ħ'' به صفر میل میل می کند، معادلات مکانیک کلاسیک از معادلات مکانیک کوانتومی، به دست می آیند. حاصل استفاده از اصل عدم قطعیت هایزنبرگ برای مکان و تکانه صفر می شود و این مانند این است که ثابت کاهیده پلانک به صفر میل کند ħ'' → 0'' .
 
،<math> \sigma(x) \sigma(p_x) \geqslant \frac{\hbar}{2} \quad \rightarrow \quad \sigma(x) \sigma(p_x) \geqslant 0 \,\!</math>
 
که ''σ'' بیانگر عدم قطعیت اندازه گیری در ''x'' و ''p<sub>x</sub>'' (و شبیه به آن در مسیر های ''y'' و ''z'' ) است. که بیان می کند که مکان و تکانه در این حد، می توانند با دقت دلخواه مشخص شوند.
سطر ۱۹۷ ⟵ ۲۲۴:
که این فرم عمومی معادله شرودینگر به صورت زیر است :
 
و<math> i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \Psi\left(\mathbf{r},t\right) = \hat{H} \Psi\left(\mathbf{r},t\right) \,\!</math>
 
که با معادله هامیلتون-ژاکوبی رابطه ی نزدیکی دارد:
 
و<math> \frac{\partial}{\partial t} S(q_i,t) = H\left(q_i,\frac{\partial S}{\partial q_i},t \right) \,\!</math>
 
جایی که ''S'' کنش است و''H'' تابع هامیلتونی است (نه عملگر). تعمیم مختصات، ''q<sub>i</sub>'' برای i'' = 1،2،3'' می تواند موقعیت در مختصات دکارتی را، هماهنگ کند.
سطر ۲۱۵ ⟵ ۲۴۲:
اگر هامیلتونی تابعی صریح از زمان نباشد معادله به بخش های زمانی و مکانی قابل تفکیک است. عملگر انرژی <math> \hat{E} = i \hbar \partial / \partial t \,\!</math> می تواند توسط مقادیر ویژه انرژی جایگزین شود. که فرم خلاصه شده معادله ویژه مقداری برای هامیلتونی <math> \hat{H}</math> است.
 
،<math>\hat H \psi = E \psi </math>
 
یک جواب معادله مستقل از زمان، یک ویژه حالت انرژی ''E'' نامیده می شود. برای پیدا کردن حالت وابستگی زمانی از معادله وابسته به زمان با شرایط اولیه ی ('''ψ('''r شروع می کنیم. مشتق زمانی در t'' = 0'' متناسب است با
 
.<math> \left.i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \Psi(\bold{r},t)\right|_{t=0}= \left.H \Psi(\bold{r},t)\right|_{t=0} =E \Psi(\bold{r},0) \,</math>
 
بنابراین معادله را به دو بخش زمانی و مکانی تفکیک کرده و معادله کلی حاصلضرب این دو است پس برای هر زمان ''t'':
 
،<math> \Psi(\bold{r},t)= \tau(t) \psi(\bold{r}) \,</math>
 
اکنون ''Ψ'' را جایگذاری می کنیم:
 
،<math> i\hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t } = E \Psi \rightarrow i\hbar \psi(\bold{r})\frac{\partial\tau(t)}{\partial t } = E \tau(t)\psi(\bold{r}) \,</math>
 
که در این حالت ('''ψ('''r حذف شده معادله برای <math> \scriptstyle \tau(t)\,\!</math> حل می شود که یک جواب معادله ی وابسته به زمان را با شرایط اولیه بیان می کند.
 
.<math> \Psi(\bold{r},t) = \psi(\bold{r}) e^{-i{E t/\hbar}} = \psi(\bold{r}) e^{-i{\omega t}} \,</math>
 
این موضوع جواب معادله وابسته به زمان امواج ایستاده را بیان می کند که حالتی با انرژی مشخص است.(که به جای توزیع احتمالاتی برای انرژِی های متفاوت.) در فیزیک این امواج ایستاده حالت پایا یا ویژه حالت انرژی نامیده می شود.
سطر ۲۳۸ ⟵ ۲۶۵:
== منابع ==
{{پانویس}}
{{چپ‌چین}}
* David J. Griffiths (2004). ''Introduction to Quantum Mechanics'' (2nd ed.). Prentice Hall. ISBN 0-13-805326-X.
* Shankar, R., ''Principles of Quantum Mechanics'', 2nd edition (Plenum, 1994)
{{پایان چپ‌چین}}
{{چپ‌چین}}
* David J. Griffiths (2004). ''Introduction to Quantum Mechanics'' (2nd ed.). Prentice Hall. ISBN 0-13-805326-X.
برگرفته از «https://fa.wikipedia.org/wiki/معادله_شرودینگر»