تفاوت میان نسخه‌های «مدل توماس-فرمی»

بدون خلاصه ویرایش
''ΔV'' الکترون‌ها بطور همگون پخش شده‌اند، اما چگالی الکترونی <math>n(\vec{r})</math> همچنان می‌تواند از یک حجم کوچک به حجم کوچک دیگر تغییر کند.
 
== انرژی جنبشی ==
در هر فضای سه‌بعدی <math>h^{3}</math> دو الکترون باشنده‌است و پایهٔ [[انرژی فرمی|تکانه فرمی]] <math>p_f</math> می‌توان در مختصات <math>d^{3}r</math> می‌توان کره‌ای از [[تکانه]] را در نظر داشت:
برای یک حجم کوچک ''ΔV'' و برای اتم در [[حالت پایه]]، می‌توان یک حجم کروی در فضای تکانه ''V<sub>f</sub>''&nbsp; را تا تکانهٔ فرمی ''p''<sub>''f''</sub>&nbsp; پر کرد و در نتیجه داریم:
<center>
<math>(4/3)\pi p_f^3(\vec{r}).\ </math>
</center>
 
:<math>(V_f = \frac{4/}{3)}\pi p_fp_{f}^3(\vec{r}).\ .</math>
اکنون با درنظرگیری دو الکترون در فضای <math>d^{3}r</math> داریم:
<center>
<math>n(\vec{r})=\frac{8\pi}{3h^3}p_f^3(\vec{r}).\ </math>
</center>
 
که در آن <math>\vec{r} </math> نقطه‌ای در ''ΔV'' است.
با حل این معادله برای <math>p_f</math> و سپس جایگذاری در معادله [[انرژی جنبشی]]، می‌توان تابع برداری [[چگالی الکترون]] را بدست آورد:
حجم فضای فاز متناظر برابر است با:
<center>
<math>t_{TF}[n] = \frac{p^2}{2m_e} \propto \frac{(n^{1/3})^2}{2m_e} \propto n^{2/3}(\vec{r})\ </math>
 
:<math>T_\Delta V_{TFph}[n] = C_FV_f \int n(\vecDelta V = \frac{r4}) n^{2/3}(\vecpi p_{rf}) d^3r =C_F\int n^{5/3}(\vec{r}) d^3r\ \Delta V .</math>
</center>
که در آن:
<center>
<math>C_F=\frac{3h^2}{10m_e}\left(\frac{3}{8\pi}\right)^{2/3}.\ </math><math>C_F=\frac{3h^2}{10m_e}\left(\frac{3}{8\pi}\right)^{2/3}.\ </math>
</center>
 
الکترون‌ها در ''ΔV<sub>ph</sub>''&nbsp; به مقدار ۲ الکترون بر ''h<sup>3</sup>'' بطور همگون توزیع شده‌اند که ''h'' [[ثابت پلانک]] است.<ref>Parr and Yang 1989, p.47</ref> حالا تعداد الکترون‌ها در ''ΔV<sub>ph</sub>''&nbsp; برابر است با:
اکنون، از آنجا که کنش الکترون-الکترون و الکترون-هسته وابسته به چگالی الکترونی هستند، می‌توان انرژی [[اتم]] را با بکاربردن تابع برداری انرژی جنبشی بدست آورد.
 
:<math>t_\Delta N_{TFph}[n] = \frac{p^2}{2m_eh^3} \propto \Delta V_{ph} = \frac{(n^8\pi}{1/3h^3})^2}p_{2m_ef} \propto n^{2/3}(\vec{r}) \ \Delta V .</math>
 
تعداد الکترون‌ها در ''ΔV''&nbsp; برابر است با:
 
:<math>\Delta N = n(\vec{r}) \ \Delta V </math>
 
که در آن <math>n(\vec{r}) </math> چگالی الکترون است.
با برابر قرار دادن تعداد الکترون‌ها در ''ΔV'' و ''ΔV<sub>ph</sub>''&nbsp; داریم:
 
:<math>n(\vec{r})=\frac{8\pi}{3h^3}p_fp_{f}^3(\vec{r}).\ .</math>
 
کسری از الکترون‌های <math>\vec{r}</math> که تکانه بین ''p'' و ''p+dp'' دارند برایر است با:
 
:<math>\begin{align}
F_\vec{r} (p) dp & = \frac{4 \pi p^2 dp} {\frac{4}{3} \pi p_f^3(\vec{r})} \qquad \qquad p \le p_f(\vec{r}) \\
& = 0 \qquad \qquad \qquad \quad \text{otherwise} \\
\end{align} </math>
 
با استفاده از عبارت کلاسیک انرژی جنبشی برای الکترونی با جرم ''m<sub>e</sub>''، انرٰی جنبشی بر واحد حجم در <math>\vec{r}</math> برای الکترون‌های اتم برابر است با:
 
:<math>\begin{align}
t(\vec{r}) & = \int \frac{p^2}{2m_e} \ n(\vec{r}) \ F_\vec{r} (p) \ dp \\
& = n(\vec{r}) \int_{0}^{p_f(\vec{r})} \frac{p^2}{2m_e} \ \ \frac{4 \pi p^2 } {\frac{4}{3} \pi p_f^3(\vec{r})} \ dp \\
& = C_F \ [n(\vec{r})]^{5/3}
\end{align} </math>
 
که در آن از رابطهٔ پیشین بین <math>n(\vec{r})</math> و <math>p_f(\vec{r})</math> استفاده شده و نیز:
 
:<math>C_F=\frac{3h^2}{10m_e}\left(\frac{3}{8\pi}\right)^{2/3}.\ </math><math>C_F=\frac{3h^2}{10m_e}\left(\frac{3}{8\pi}\right)^{2/3}.\ </math>
انتگرال‌گیری از انرژی بر واحد حجم <math>t(\vec{r})</math> در کل فضا، مجموع انرژی جنبشی الکترون‌ها را می‌دهد<ref>March 1983, p. 5, Eq. 11</ref>
 
:<math>T=C_F\int [n(\vec{r})]^{5/3}\ d^3r \ .</math>
این نتیجه نشان می‌دهد که در مدل توماس-فرمی مجموع انرژی جنبشی الکترون‌ها می‌تواند تنها بر حسب چگالی الکترونی تابع فضا <math>n(\vec{r}) ,</math> بیان شود. از این رو آنها توانستند انرژی یک اتم را با استفاده از این عبارت برای انرژی جنبشی و معادلات کلاسیک برهمکنش الکترون-الکترون و الکترون-هسته (که این هر دو نیز می‌توانند بر حسب چگالی الکترونی محاسبه شوند) محاسبه کنند.
 
 
== انرژی پتانسیل ==
انرژی پتانسیل الکترون‌های یک اتم به دلیل جاذبهٔ هستهٔ اتم با بار مثبت چنین است:
 
:<math>U_{eN} = \int n(\vec{r}) \ V_N(\vec{r}) \ d^3r \, </math>
 
که در آن <math>V_N(\vec{r}) \, </math> انرژی پتانسیل یک الکترون در <math>\vec{r} \, </math> به دلیل میدان الکتریکی هسته است. برای حالت هسته در <math>\vec{r}=0</math> با بار ''Ze'' که در آن ''Z'' عدد صحیح مثبت و ''e'' [[بار بنیادی]] است:
 
:<math>V_N(\vec{r}) = \frac{-Ze^2}{r} . </math>
 
انرژی پتانسیل الکترون‌ها به دلیل دافعهٔ الکترونی بین یکدیگر چنین است:
 
:<math>U_{ee} = \frac{1}{2} \ e^2 \int \frac{n(\vec{r}) \ n(\vec{r} \, ')} {\left\vert \vec{r} - \vec{r} \, ' \right\vert } \ d^3r \ d^3r' .</math>
 
== انرژی کل ==
انرژی کل الکترون‌ها از مجموع انرژی جنبشی و پتانسیل آنها بدست می‌آید:
 
:<math> \begin{align}
E & = T \ + \ U_{eN} \ + \ U_{ee} \\
& = C_F\int [n(\vec{r})]^{5/3}\ d^3r \ + \int n(\vec{r}) \ V_N(\vec{r}) \ d^3r \ + \ \frac{1}{2} \ e^2 \int \frac{n(\vec{r}) \ n(\vec{r} \, ')} {\left\vert \vec{r} - \vec{r} \, ' \right\vert } \ d^3r \ d^3r' \\
\end{align} </math>
 
== عدم دقت و گسترش این روش ==
 
محدودیت این روش در اینست که تابع برداری انرژی جنبشی تنخمینی‌ست و [[انرژی تبادلی]] در آن نادیده گرفته‌شده‌است. همچنین این مدل توانایی توضیح پیوندهای مولکولی را نداشت و ازینرو تابع برداری انرژی جنبشی تصحیح‌شده بدینگونه معرفی‌شد: