|
===نظریه اختلال===
در مكانيك كوانتمي،''' نظريه‌ينظريهٔ اختلال'''، مجموعه‌ای از طرح‌هاي تقريبی است كه مستقيماً مربوط به اختلال وابسته به رياضي است كه براي توصيف يك مجموعه‌يمجموعهٔ كوانتمي پيچيده بر حسب يك مجموعهمجموعهٔ ساده‌تر بكار مي‌رود. ايدهايدهٔ ما اين است كه با يك سيستم ساده شروع نمائيم كه در آن يك روش رياضي شناخته شده است و افزودن هاميلتون،[[هامیلتونی (مکانیک کوانتومی)|هاميلتون]]، آشفته، نشان دهنده‌يدهندهٔ اختلال ضعيف در سيستم خواهد بود. اگر اختلال زياد نباشد، كميت‌هاي مختلف فيزيكي توأم با سيستم آشفته (براي مثال سطح انرژي و حالت انرژي)، طبق الزامات پيوستگي، بصورت اصطلاحات سيستم ساده تعريف مي‌كردندمی‌شوند. اين اصطلاحات، اگرچه در مقايسه با سايزمقدار كميت‌ها كوچك هستند، مي‌توانند با استفاده از متدهايروش‌های تقربي مانند مجموعه‌هاي مجانب محاسبه شوند. بنابراين سيستم پيچيده را مي‌توان بر مبناي دانش سيستم ساده‌تر مورد مطالعه قرار داد. <ref>{{Citation | last1=Cropper | first1=William H. | title=Great Physicists: The Life and Times of Leading Physicists from Galileo to Hawking | publisher=[[انتشارات دانشگاه آکسفورد]] | isbn=978-0-19-517324-6 | year=2004 | page=34}}.</ref>
===كاربردهاي نظريه‌ي اختلال===
نظريه‌ينظريهٔ اختلال ابزار مناسبي براي توصيف سيستم‌هاي كوانتومي است، زيرا يافتن روش دقيقي در [[معادله شرودینگر|معادلات شرودينگر]] در هاميلتون‌هايي با پيچيدگي متوسط دشوار است. حركت‌هاي هاميلتوني كه ما براي آنها روش دقيقي داريم مانند اتم هيدوژن،[[هيدوژن]]، [[نوسانگر هارمونيكهماهنگ]] كوانتوم و ذرات داخل جعبه، براي توصيف اغلب سيستم‌ها بسيار ايده‌آل هستند. با استفاده از نظريه‌ينظريهٔ اختلال، ما مي‌توانيم از روش‌هاي شناخته شده‌اي از اين هاميلتون ساده براي ارائه‌يارائهٔ روش‌هايي براي دامنه‌اي از سيستم‌هاي پيچيده استفاده نمائيم.
براي مثال، با افزودن [[پتانسيل الكتريكي]] اختلالي به مدل مكانيكي كوانتوم اتم هيدروژن، مي‌توانيم تغييرات كوچك موجود در [[خطوط طيفيطیفی هيدروژنهیدروژن]] را كه حاصل از وجود ميدان الكتريكي (اثر استارك) است را محاسبه نمائيم. اين محاسبه تقريبي استاست، زيرا جمع [[قانون کولن|پتانسيل كولن]] با پتانسيل خطي غير ثابت مي‌باشد، اگر زمان تونل‌زني بسيار طولاني است. اين امر بصورت بسط انرژي خطوط طيفي نشان داده شده است، چيزي كه نظريه‌ينظريهٔ اختلال نتوانست بطور كامل آنرا عملي نمايد. مقادير بدست آمده حاصل از نظريه‌ينظريهٔ اختلال دقيق نمي‌باشند، ولولی نتايج دقيقي را مانند پارامترهاي بسط دهنده در اختيارمان قرار مي‌دهند، براي مثال مقدار بسيار كوچك مي‌باشد. عموماً اين نتايج بر حسب مجموعه‌هاي نيروي محدود مانند بيان مي‌شوند كه زمانيكه با مرتبه‌ي بالاتر جمع مي‌شوند به مقادير دقيق‌تر نزديك مي‌شوند. به هر حال، پس از مرتبه‌ي خاصي از<math>n\sim 1/\alpha</math> تدريجاً كاسته مي‌شود زيرا مجموعه‌ها عموماً واگرا مي‌باشند. روش‌هايي براي همگرا كردن آنها وجود دارد كه در پارامترهاي گسترده مي‌تواند با استفاده از متد تغيير ارزياب گرددمي‌دهند.
در تئوري الكتروديناميك كوانتوم كه در آن تعامل [[فوتون]] [[الكترون]] بصورت آشفته مي‌باشد، محاسبه‌يمحاسبهٔ گشتاور مغناطيسي الكترون با 11۱۱ اعشار سازگار خواهد بود. در و ساير تئور‌هاي كوانتومي، ارتكنيك‌ها خاص محاسباتي مانند نمودارهاي فمن براي جمع نمودن سيستماتيك مجموعه‌اي نيرو استفاده مي‌شود. تحت برخي از شرايط، تئوري اختلال رويكرد نامعتبري محسوب مي‌گردد. اين امر زماني بروز مي‌نمايد كه ما نتوانيم سيستم را با اختلال تحميلي اندك در سيستم‌هاي ساده توصيف نمائيم. براي مثال در ديناميك رنگي كوانتوم‌ها، تعامل كولاك با گلون در سطوح كم‌انرژي آشفتگي ايجاد نمي‌نمايدنمي‌نمايد، زيرا ثابت‌هاي جفت (پارامترهاي توسعه‌اي) بسيار بزرگ مي‌شوند. تئورتئوری اختلال هم‌چنين نمي‌تواند حالاتي را كه بصورت آدياباتيك از «مدل آزاد» بوجود آمده‌اند را توصيف نمايدنمايد، مانند حالات مرزي و پديده‌هاي جمعي مختلف مانند سولتون. براي مثال، تصور نمائيد كه ما داراي سيستمي با ذرات آزاد هستيم كه در آن يك تعامل جالبي وجود دارد. بسته به نوع تعامل اين امر ممكن است موجب ايجاد مجموعه پديدي از حالات انرژي مرتبط با گروهي از ذرات گردد كه به يكديگر متصل هستند. يك نمونه از اين پديده در فوق هدايت قراردادي مشاهده شده است كه در آن جاذبه‌ي فونون بين الكترون‌هاي رسانا موجب تشكيل جفت‌هاي الكتروني هسته مي‌شود كه جفت‌هاي كوپر ناميده مي‌شوند. حين مواجهه با چنين سيستم‌هايي اغلب يكي بدبه نماي تقريبي ديگري تبديل مي‌شوند مانند متدهاي تغيير و تقريب WKB. اين امر بدين دليل است كه هيچگونه شباهتي از ذرات پيوسته در مدل آشفته و انرژي سوليتون وجود ندارد كه عكس پارامترهاي انبساطي مي‌باشد. به هر حال اگر ما پديده‌ي سوليتون را يكپارچه نمائيم، اصطلاحات غير مختل در اين جا بسيار اندك خواهد بود، از مرتبه‌ي يا در پارامتر اختلالي g بود. نظريه‌ينظريهٔ اختلال تنها مي‌تواند محصول‌هايي را مورد بررسي قرار دهد كه رابطه‌ي نزديكي با محصول‌هاي غيرآشفته دارد،دارند، حتي اگر محصول‌هاي ديگري نيز وجود داشته باشد(كه بعنوان پارامتر انبساطي است كه به سمت صفر سوق مي‌يابد). مسئله‌ي سيستم‌هاي غيرآشفته تا حدودي با كامپيوترهاي مدرن حل شد. بدست آوردن چندين روش غير اختلالي عددي در برخي مسائل خاص عملي گرديد كه در آنها از متدهايي مانند نظريه‌ي كاربردي چگالي استفاده مي‌نمودند.
اين پيشرفت‌ها در زمينه‌يزمينهٔ شيمي كوانتوم بسيار موثر بوده است. از كامپيوترها هم‌چنين براي محاسبات نظريه‌ينظريهٔ اختلال استفاده فراواني شدشده است كه در فيزيك ذرات اهميت فراواني دارد و با استفاده از آنها مي‌توان نتايج تئوريكي را توليد نمود كه قابل قياس با آزمايشات مي‌باشد.
===نظريه‌ي اختلال مستقل از زمان===
اين نظريه يكي از مقوله‌هاي نظريه‌ينظريهٔ اختلال است و مقوله‌يمقولهٔ ديگر آن وابسته به زمان مي‌باشد. در نظريه‌ينظريهٔ مستقل از زمان هاميلتون اختلالي ايستا مي‌باشد (يعني هيچگونه وابستگي زماني ندارد).نظريه‌ي نظريهٔ وابسته به زمان در مقاله 1926۱۹۲۶ [[اروين شرودينگر]] ارائه گرديد كه اندكي پس از ارائه‌ي نظريات او در مكانيك امواج بود. در اين وقاله شرودينگر به آثار اوليه‌ياوليهٔ لرد رايلي اشاره نمود كه در ارتعاشات هارمونيك لايه‌هاي آشفته شده بواسطه‌يبواسطهٔ ناهماهنگي اندك را بررسي نموده بود. به همين دليل است كه نظريه‌ي اختلال رايلي- شرودينگر نيز ناميده مي‌شود.
===اصطلاحات مرتبه اول===
ما با هاميلتون غير آشفته‌يآشفتهٔ <math> H_0</math> آغاز مي‌نمائيم كه مفروض است هيچگونه وابستگي زماني ندارد. داراي سطوح و حالات انرژي شناخته شده است كه حاصل از معادله‌يمعادلهٔ مستقل از زمان شرودينگر مي‌باشد:
:<math> H_0 |n^{(0)}\rang = E_n^{(0)} |n^{(0)}\rang \quad,\quad n = 1, 2, 3, \cdots </math>
به منظور وضوح بيشتر فرض مي‌نمائيم كه انرژي‌ها گسسته مي باشند. بالاوند (o0) نشان مي‌دهد كه اين كيمت‌ها همراه با سيستم آشفته مي‌باشند. به استفاده براكت توجه نمائيد. حال ما يك اختلال در هاميلتون ايجاد مي‌نمائيم. اجازهفرض دهيدمی‌کنیم vV هاميلتوني باشد كه نشان دهنده‌يدهندهٔ اختلال فيزيكي ضعيف است، مانند انرژي پتانسيل ايجاد شده توسط ميدان خارجي (بنابراين vV يك عامل هرميتي است). پارامتر بدون بعد است كه مقادير را متعهد مي‌شود كه از 0 تا 1 متغير هستند. هاميلتون آشفته به اين صورت مي‌باشد:
:<math> H = H_0 + \lambda V </math>
سطوح انرژي و حالات انرژي هاميلتون آشفته با معادله‌ي شرودينگر ارائه شده است:
:<math> \left(H_0 + \lambda V \right) |n\rang = E_n |n\rang . </math>
هدف ما بيان <math>E_n</math> و <math>|n\rang</math> بر حسب سطوح و حالات انرژي هاميلتون پيشين مي‌باشد. اگر آشفتگي ضعيف باشد، مي‌توان آنها را بصورت زنجيره‌هاي نيرو و بدين صورت نوشت:
:<math> E_n = E_n^{(0)} + \lambda E_n^{(1)} + \lambda^2 E_n^{(2)} + \cdots </math>
:<math> |n^{(k)}\rang = \frac{1}{k!}\frac{d^k |n\rang }{d \lambda^k}. </math>
زمانيكه λ'' = 0 ''باشد، اين مقدار غيرآشفته كاهش مي‌يابد كه اولين مقدار در هر مجموعه تلقي مي‌شوند. از آنجا كه آشفتگي ضعيف مي‌باشد، سطوح و حالات انرژي از مقادير غيآشفته نشانغيرآشفته‌شان منحرف شوند و با سوق به سمت مراتب بالاتر اين مقادير كوچكتر مي‌شوند. با اتصال مجموعه‌هاي نيرو به معادله‌ي شرودينگر، خواهيم داشت:
:<math>\begin{matrix}
\left(H_0 + \lambda V \right) \left(|n^{(0)}\rang + \lambda |n^{(1)}\rang + \cdots \right) \qquad\qquad\qquad\qquad\\
\qquad\qquad\qquad= \left(E_n^{(0)} + \lambda E_n^{(1)} + \lambda^2 E_n^{(2)} + \cdots \right) \left(|n^{(0)}\rang + \lambda |n^{(1)}\rang + \cdots \right)
\end{matrix}</math>
بسط اين معادله و مقايسهمقايسهٔ ضرايب هر يك از توان‌هاي ''λ'' موجب بدست آمدن مجموعه‌هاي نامحدود از معادلات همزمان مي‌گردد. معادله‌يمعادلهٔ مرتبهمرتبهٔ صفر معادله‌يمعادلهٔ شرودينگر در سيستم آشفاه مي‌باشد.
معادله‌يمعادلهٔ مرتبه اول بدين صورت مي‌باشد:
:<math> H_0 |n^{(1)}\rang + V |n^{(0)}\rang = E_n^{(0)} |n^{(1)}\rang + E_n^{(1)} |n^{(0)}\rang </math>
اولين عبارت در سمت چپ با عبارت موجود در سمت راست كنسلحذف مي‌شود. (به ياد داشته باشيد كه هاميلتون غيرآشفته هرميتي مي‌باشد). انياین امر منجر به تغيير انرژي مرتبه اول مي‌گردد:
:<math> H_0 |n^{(1)}\rang + V |n^{(0)}\rang = E_n^{(0)} |n^{(1)}\rang + E_n^{(1)} |n^{(0)}\rang </math>
اين امر پيش‌بيني مقدار هاميلتون اختلالي است كه سيستم در حالت غيرآشفته مي‌باشد.
| 