قضیه تیلور: تفاوت میان نسخه‌ها
محتوای حذف‌شده محتوای افزوده‌شده
جز ربات: حذف از رده:پیگیری ربات حذف کارکتر نادرست |
جز ویکیسازی رباتیک(۷.۵) >معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی، حساب دیفرانسیل و انتگرال، ژوزف لویی لاگرانژ، [[هندس... |
||
خط ۱:
'''چند جمله‌ای تیلور''' مقدار تقریبی یک [[تابع مشتق‌پذیر]] را در همسایگی یک نقطه به دست می‌آورد. ضرایب این چند جمله‌ای را مشتق‌های این تابع در نقطه مذکور تشکیل می‌دهند. این نظریه به نام [[ریاضیدان]] [[بروک تیلور]] نامیده شده‌است.
قضیه تیلور نخستین بار توسط تیلور در سال1712مطرح گردید. با این حال، بیان صریح و روشن از خطا بسیار بعد ها توسط [[ژوزف لویی لاگرانژ]] ارائه شد.بیان جدید این نظریه در سال 1671 توسط جیمز گرگوری اشاره شده است.
قضیه تیلور در [[دوره سطح]] مقدماتی [[حساب دیفرانسیل و انتگرال]] آموزش داده شده است و از آن است که یکی از ابزار ابتدایی و اصلی در [[آنالیز ریاضی]] است. تعمیم قضیه تیلوردر [[هندسه دیفرانسیل]] و [[معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی]] استفاده می شود.
[[پرونده:Taylorspolynomialexbig.svg|بندانگشتی|300px|تابع توانی <math>y=e^x</math> (خط قرمز ممتد) و چند جمله‌ای تیلور متناظر آن از درجه ۴ حول مبدأ (خط‌چین سبز).]]
== بیان قضیه ==
گر تابع f در نقطه a [[مشتق پذیر]] باشد و آنگاهf دارای یک تقریب خطی درنقطه a است. این به این معنی است کهh1وجود دارد:
:<math> f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + h_1(x)(x-a), \qquad \lim_{x\to a}h_1(x)=0.</math>
خط ۱۲:
میزان تقریب خطا:
:<math>R_1(x) = f(x)-P_1(x) = h_1(x)(x-a). \ </math>
که اگر بخواهیم هرچه بیشتر به نقطه a نزدیک شویم از [[چندجمله ای]] درجه دوم:
:<math>P_2(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2}(x-a)^2. \, </math>
که میزان تقریب خطا:
خط ۲۶:
برای عددی در این فاصله باز است.
== فرمول مستقیم برای بدست آوردن میزان خطا ==
اگر (G(t d یک [[تابع پیوسته]] در یک فاصله بسته باشد و همواره مشتق پذیر در یک فاصله باز بین a و x باشد:
:<math> R_k(x) = \frac{f^{(k+1)}(\xi_L)}{(k+1)!} (x-a)^{k+1} </math>
== تخمین تابع خطا ==
بسیاری اوقات تخمین [[تابع خطا]] مفیدتر از ایجاد یک فرم کلی برای آن است.فرض کنیدf یک تابع k+1 بار در بازهI شامل نقطهa مشتق پذیر است.حال فرض کنید مقادیر حقیقی qو Q وجود داشته باشند که:
:<math>q\le f^{(k+1)}(x)\le Q</math>
آنگاه تابع خطا در نامساوی:
| |||