بسط تیلور: تفاوت میان نسخهها
محتوای حذفشده محتوای افزودهشده
Freshman404 (بحث | مشارکتها) |
Freshman404 (بحث | مشارکتها) جز ویرایش به وسیلهٔ ابزار خودکار ابرابزار |
||
خط ۱:
{{حساب دیفرانسیل و انتگرال}}
[[پرونده:sintay.svg|بندانگشتی|300px|<font color=#333333>هر چه درجه چند
[[پرونده:Exp series.gif|چپ|بندانگشتی| <font color=blue>[[تابع نمایی]] (به رنگ آبی) </font> و <font color=red>مجموع n+1 جمله اول سری تیلور دور نقطه
در [[ریاضیات]]، '''<big>سری تیلور</big>''' یا '''گسترش تیلور''' {{به انگلیسی|Taylor series}} [[نمایش یک تابع]] به صورت [[سری (ریاضیات)|مجموع
== تعریف ==
سری تیلور یک تابع <math>f(x)</math> با مقادیر [[اعداد حقیقی|حقیقی]] یا [[آنالیز مختلط|مختلط]] که در [[همسایگی (توپولوژی)|همسایگی]] نقطه [[اعداد حقیقی|حقیقی]] یا [[اعداد مختلط|مختلط]] <math>x_0</math> [[
<math>f(x)= f(x_0)+\frac{f'(x_0) (x-x_0)}{1!}+\frac{f''(x_0)(x-x_0)^2}{2!}+\frac{f'''(x_0)(x-x_0)^3}{3!}+...</math>
که
<math>
خط ۱۷:
</math>
:که در اینجا <math>n!</math> به معنی [[فاکتوریل]] عدد <math>n</math> و <math>f^{(n)}(x_0)</math> به معنی مشتق <math>n</math> اُم تابع <math>f</math> در نقطه <math>x_0</math> است. طبق تعریف مشتق
== اثبات ==
فرض کنید
<math>P(a)=f(a)</math>
تا اینجا داریم <math>P(x)=f(a)</math> و اکنون برای اینکه تابع <math>P</math> در همسایگی <math>a</math> نیز شبیه <math>f</math> شود باید مشتقهای آن در این نقطه با مشتقهای <math>f</math> برابر باشد. مشتقهای <math>f</math> را به صورت مضاربی از x به <math>P</math> اضافه
<math>f(x) \sim P(x)=f(a)+\frac {f'(a)}{1!} (x-a)+ \frac{f''(a)}{2!} (x-a)^2+\frac{f^{(3)}(a)}{3!}(x-a)^3+ \cdots. </math>
یا همان:
:<math>f(x) \sim P(x)= \sum_{n=0} ^ {\infty} \frac {f^{(n)}(a)}{n!} \, (x-a)^{n}</math>
گاهی در گرفتن حد، از یک یا دو جمله اول گسترش تیلور یک تابع دور نقطه حدگیری، به عنوان یک همارزی استفاده
:<math>\sin (x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots\text{ for all } x\!</math>
خط ۴۳:
<math>f (x)=e^{2x}</math>
{{پایان چپچین}}
در همسایگی (۱-)،
میتوان گفت:
خط ۵۲:
{{پایان چپچین}}
همچنین، از بسط تیلور میتوان برای حل از روش [[سریهای توانی]] استفاده کرد
== موارد پر کاربرد ==
خط ۵۹:
;لگاریتم:
:<math>\log(1-x) = - \sum^{\infin}_{n=1} \frac{x^n}n\text{ for } -1\le x<1</math>
:<math>\log(1+x) = \sum^{\infin}_{n=1} (-1)^{n+1}\frac{x^n}n\text{ for }-1<x\le1</math>
;دنبالهٔ هندسی متناهی:
:<math>\frac{1-x^{m + 1}}{1-x} = \sum^{m}_{n=0} x^n\quad\mbox{ for } x \not= 1\text{ and } m\in\mathbb{N}_0\!</math>
خط ۷۰:
:<math>\frac{1}{(1-x)^2} = \sum^{\infin}_{n=1}n x^{n-1}\quad\text{ for }|x|> 1\!</math>
;ریشهٔ مربع
:<math>\sqrt{1+x} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n(2n)!}{(1-2n)(n!)^2(4^n)}x^n = 1 + \textstyle \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 + \frac{1}{16} x^3 - \frac{5}{128} x^4 + \dots\text{ for }|x|\le1</math>
;بسط دو جملهای:
:<math>(1+x)^\alpha = \sum_{n=0}^\infty {\alpha \choose n} x^n\quad\mbox{ for all }|x| <1 \text{ and all complex } \alpha\!</math>
;توابع مثلثاتی:
:<math>\sin x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots\text{ for all } x\!</math>
خط ۹۱:
{{پانویس}}
{{آغاز چپچین}}
* Thomas, George B. Jr. ; Finney, Ross L. (1996). ''Calculus and Analytic Geometry'' (9th ed.). Addison Wesley. ISBN 0-201-53174-7.
* Greenber, Michael (1998). ''Advanced Engineering Mathematics (2nd ed.)''. Prentice Hall. ISBN 0-13-321431-1.
* Navid K. Jalali; Doctrine: How Limits Work.
{{پایان چپچین}}
|