بسط تیلور: تفاوت میان نسخه‌ها

محتوای حذف‌شده محتوای افزوده‌شده
جز ویرایش به وسیلهٔ ابزار خودکار ابرابزار
خط ۱:
{{حساب دیفرانسیل و انتگرال}}
[[پرونده:sintay.svg|بندانگشتی|300px|<font color=#333333>هر چه درجه چند جمله ایجمله‌ای تیلور افزایش پیدا کند، دور نقطه گسترش، تابع تقریب تیلور به تابع اصلی نزدیک‌تر می‌شود. این تصویر </font> <math>\sin(x)</math> و تقریب هایتقریب‌های تیلور آن، تا توانهای <font color=red>1</font>, <font color=orange>3</font>, <font color=yellow>5</font>, <font color=green>7</font>, <font color=blue>9</font>, <font color=indigo>11</font> و <font color=violet>13</font> را نشان می‌دهد.]]
 
[[پرونده:Exp series.gif|چپ|بندانگشتی| <font color=blue>[[تابع نمایی]] (به رنگ آبی) </font> و <font color=red>مجموع n+1 جمله اول سری تیلور دور نقطه 0۰ (به رنگ قرمز)</font>]]
 
در [[ریاضیات]]، '''<big>سری تیلور</big>''' یا '''گسترش تیلور''' {{به انگلیسی|Taylor series}} [[نمایش یک تابع]] به صورت [[سری (ریاضیات)|مجموع بی نهایتبی‌نهایت]] جمله است که از [[مشتق|مشتق‌های]] تابع در یک نقطه به دست می‌آید. ریاضیدان انگلیسی، [[بروک تیلور]]، در سال ۱۷۱۵ [[میلادی]]، مفهوم سری تیلور را به طور رسمی معرفی کرد. اگر سری را دور نقطه صفر گسترش دهیم، سری به [[سری مکلورن|سری مکلارن]] نیز معروف است که به نام ریاضیدان اسکاتلندی، [[کالین مکلورن|کالین مکلارن]]، که در قرن 18ام۱۸ام استفاده بسیاری از این حالت خاص سری تیلور کرد، نام گزاری شده است. مرسوم است که توابع را حول یک نقطه با تعدادی [[متناهی]] از جملات سری تیلور تقریب بزنند. [[قضیه تیلور]] مقدار خطای این تقریب زنی را به صورت کمّی تخمین میزندمی‌زند. هر تعداد متناهی از جملات اول سری تیلور به [[چندجمله‌ای تیلور]] معروف است. سری تیلور یک تابع، حد چندجمله‌ای هایچندجمله‌ای‌های تیلور آن است (اگر حد وجود داشته باشد.) یک تابع ممکن است با سری تیلورش برابر نباشد حتی اگر سری تیلور آن در هر نقطه همگرا باشد. تابعی که در یک [[بازه|بازه‌یبازهٔ باز]] (یا یک دیسک در [[صفحه مختلط]]) با سری تیلورش برابر باشد، [[تابع تحلیلی]] خوانده میشودمی‌شود.
 
== تعریف ==
سری تیلور یک تابع <math>f(x)</math> با مقادیر [[اعداد حقیقی|حقیقی]] یا [[آنالیز مختلط|مختلط]] که در [[همسایگی (توپولوژی)|همسایگی]] نقطه [[اعداد حقیقی|حقیقی]] یا [[اعداد مختلط|مختلط]] <math>x_0</math> [[بی نهایتبی‌نهایت]] بار مشتق‌پذیر است، [[سری توانی|سری توانیِ]] زیر است:
 
<math>f(x)= f(x_0)+\frac{f'(x_0) (x-x_0)}{1!}+\frac{f''(x_0)(x-x_0)^2}{2!}+\frac{f'''(x_0)(x-x_0)^3}{3!}+...</math>
 
که میتوانیممی‌توانیم آن را خلاصه‌تر عملگر [[سیگما]] بنویسیم:
 
<math>
خط ۱۷:
</math>
 
:که در اینجا <math>n!</math> به معنی [[فاکتوریل]] عدد <math>n</math> و <math>f^{(n)}(x_0)</math> به معنی مشتق <math>n</math> اُم تابع <math>f</math> در نقطه <math>x_0</math> است. طبق تعریف مشتق 0۰-اُم هر تابع خودش است و <math>(x-x_0)^0</math> و <math>0!</math> هر دو برابر 1۱ اند. اگر <math>x_0=0</math> باشد، سری همان [[سری مکلورن]] است.
 
== اثبات ==
فرض کنید میخواهیممی‌خواهیم تابعی چندجمله‌ای مثل <math>P(x)</math> مدلسازی کنیم که در همسایگی نقطه <math>a</math> با تابع <math>f(x)</math> یکریخت باشد. اول اینکه باید مقدار تابع در نقطه <math>a</math> با <math>f</math> برابر باشد پس داریم:
<math>P(a)=f(a)</math>
تا اینجا داریم <math>P(x)=f(a)</math> و اکنون برای اینکه تابع <math>P</math> در همسایگی <math>a</math> نیز شبیه <math>f</math> شود باید مشتق‌های آن در این نقطه با مشتق‌های <math>f</math> برابر باشد. مشتق‌های <math>f</math> را به صورت مضاربی از x به <math>P</math> اضافه میکنیممی‌کنیم به طوری که: (1۱) در نقطه‌ینقطهٔ <math>a</math> برابر صفر باشند تا مدل به هم نخورد و (2۲) مشتق i-اُمِ <math>P</math> برابر با مشتق i-اُمِ <math>f</math> باشد. برای برقراری شرط یک و دو کافی‌ست مقدار عددی مشتق i-اُمِ <math>f</math> را به ضریبِ <math>\frac{(x-a)^i}{i!}</math> قرار دهیم. در این صورت این مقدار تا مشتق i-اُم صفر باقی خواهد ماند و چون در هر مشتق این مقدار در توانِ صورت ضرب میشودمی‌شود هنگامِ گرفتن مشتق i-اُم خواهیم داشت <math>P^{(i)}(x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(f^{(i)}(a))(i!)\frac{(x-a)^i}{i!}=f^{(i)}(a)</math>. اگر اضافه کردن مشتقات را تا ابد ادامه دهیم تابع <math>P</math> بیشتر شبیه <math>f</math> شده تا در بینهایت هم‌ارز خود <math>f</math> شود.
 
<math>f(x) \sim P(x)=f(a)+\frac {f'(a)}{1!} (x-a)+ \frac{f''(a)}{2!} (x-a)^2+\frac{f^{(3)}(a)}{3!}(x-a)^3+ \cdots. </math>
 
یا همان:
 
:<math>f(x) \sim P(x)= \sum_{n=0} ^ {\infty} \frac {f^{(n)}(a)}{n!} \, (x-a)^{n}</math>
 
گاهی در گرفتن حد، از یک یا دو جمله اول گسترش تیلور یک تابع دور نقطه حدگیری، به عنوان یک هم‌ارزی استفاده میکنندمی‌کنند. به عنوان مثال در گسترش تیلور تابع <math>sin(x)</math> دور نقطه 0۰ داریم:
 
:<math>\sin (x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots\text{ for all } x\!</math>
خط ۴۳:
<math>f (x)=e^{2x}</math>
{{پایان چپ‌چین}}
در همسایگی (۱-)، ،بی‌نهایتبی‌نهایت بار مشتق‌پذیر است.
 
می‌توان گفت:
خط ۵۲:
{{پایان چپ‌چین}}
 
همچنین، از بسط تیلور می‌توان برای حل از روش [[سری‌های توانی]] استفاده کرد .
 
== موارد پر کاربرد ==
خط ۵۹:
;لگاریتم:
:<math>\log(1-x) = - \sum^{\infin}_{n=1} \frac{x^n}n\text{ for } -1\le x<1</math>
:<math>\log(1+x) = \sum^{\infin}_{n=1} (-1)^{n+1}\frac{x^n}n\text{ for }-1<x\le1</math>
;دنبالهٔ هندسی متناهی:
:<math>\frac{1-x^{m + 1}}{1-x} = \sum^{m}_{n=0} x^n\quad\mbox{ for } x \not= 1\text{ and } m\in\mathbb{N}_0\!</math>
خط ۷۰:
:<math>\frac{1}{(1-x)^2} = \sum^{\infin}_{n=1}n x^{n-1}\quad\text{ for }|x|> 1\!</math>
;ریشهٔ مربع
:<math>\sqrt{1+x} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n(2n)!}{(1-2n)(n!)^2(4^n)}x^n = 1 + \textstyle \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 + \frac{1}{16} x^3 - \frac{5}{128} x^4 + \dots\text{ for }|x|\le1</math>
;بسط دو جمله‌ای:
:<math>(1+x)^\alpha = \sum_{n=0}^\infty {\alpha \choose n} x^n\quad\mbox{ for all }|x| <1 \text{ and all complex } \alpha\!</math>
;توابع مثلثاتی:
:<math>\sin x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots\text{ for all } x\!</math>
خط ۹۱:
{{پانویس}}
{{آغاز چپ‌چین}}
* Thomas, George B. Jr. ; Finney, Ross L. (1996). ''Calculus and Analytic Geometry'' (9th ed.). Addison Wesley. ISBN 0-201-53174-7.
* Greenber, Michael (1998). ''Advanced Engineering Mathematics (2nd ed.)''. Prentice Hall. ISBN 0-13-321431-1.
* Navid K. Jalali; Doctrine: How Limits Work.
{{پایان چپ‌چین}}