پارادوکس برتراند: تفاوت میان نسخه‌ها

احتمال اینکه طول وتری تصادفی از یک دایره، بزرگتر از طول ضلع مثلث‌متساوی‌الاضلاع محاط در آن دایره باشد، چقدر است؟

شاید در نگاه اول تناقضی به‌نظر نرسد اما وقتی دقیق شویم متوجه می‌شویم که درواقع تناقض از آنجا ناشی می‌شود که چگونه این وتر تصادفی را انتخاب کنیم. استراتژی‌های مختلفی برای این انتخاب وجود دارند که هر کدام به یک جواب متفاوت می‌انجامد. در ادامه این استراتژی‌ها را بررسی می‌کنیم.

== استراتژی‌اول ==

باتوجه به تقارن برای رسم یک وتر تصادفی می‌توان ابتدا دو نقطه‌ی تصادفی روی محیط دایره انتخاب می‌کنیم و آن‌ها را به‌هم وصل می‌کنیم تا وتر بین این دو نقطه حاصل شود. نقطه‌ی اول را A و نقطه‌ی دوم را D می‌نامیم. فرض کنید A یکی از رئوس مثلث متساوی‌الاضلاع ABC باشد؛ دراینصورت وتر AD وقتی و تنها وقتی بزرگتر از طول ضلع مثلث ABC خواهد بود که نقطه‌ی D روی کمان BC قرار بگیرد. از آنجا که طول کمان BC به اندازه‌ی 1/3 طول محیط دایره است و نقطه‌ی D هم به‌طور تصادفی از محیط دایره انتخاب شده است با احتمال 1/3 روی کمان BC قرار می‌گیرد، لذا احتمال موردنظر نیز برابر 1/3 است.