معادله اویلر-لاگرانژ: تفاوت میان نسخه‌ها

محتوای حذف‌شده محتوای افزوده‌شده
←‏اثبات معادله: یک تصویر و چند پاراگراف متن به آن افزوده شد و عنوان آن نیز بهبود پیدا کرد.
←‏اثبات معادله در یک بعد: چند پاراگراف اضافه شد و این زیربخش به اتمام رسید.
خط ۸۷:
# تابعی زیر را اکسترمم کند:
: <math> J = \int_a^b F(x,f(x),f'(x))\, \mathrm{d}x\ . \,\!</math>
به علاوه فرض می‌کنیم که <math>F</math> دارای مشتق‌‌های مرتبه‌ی اول پیوسته باشد. (می‌شد این فرض را در نظر نگرفت و تنها مشکلی که پیش می‌آید، آن است که اثبات دشوارتر می‌شود.)<br />
اگر <math>f</math> با حفظ شرایط مرزی، تابعیِ فوق را اکسترمم کند،‌ پس هر اختلال کوچک در f (یعنی تغییر کردن مقدار f در نقطه‌های غیرمرزی حتی به مقدار کوچک) باعث می‌شود که مقدار <math>J</math> یا کمتر شود (اگر <math>f</math> ماکسیمم‌کننده بوده باشد) یا زیادتر. (اگر <math>f</math> مینیمم‌کننده بوده باشد.)<br />
فرض کنیم تابعی که از اختلال روی <math>f</math> ایجاد می شود به این فرم باشد: <math>g_{\varepsilon} (x) = f (x) + \varepsilon \eta (x)</math> که <math>\varepsilon</math> عددی ثابت با مقداری کوچک است و <math>\eta (x)</math> تابعی مشتق‌پذیر است که اگر بخواهد شرایط مرزی <math>f</math> را تغییر ندهد، لزوماً باید در این شرط صدق کند: <math>\eta (a) = \eta (b) = 0</math>. حال تعریف می‌کنیم:
: <math> J_\varepsilon = \int_a^b F(x,g_\varepsilon(x), g_\varepsilon'(x) ) \, \mathrm{d}x = \int_a^b F_\varepsilon\, \mathrm{d}x \,\! </math>
که در آن: <math> F_\varepsilon = F(x, \, g_\varepsilon (x), \, g_\varepsilon' (x) ) </math> .
حال آنچه که باید محاسبه کنیم، [[مشتق کل]] <math> J_\varepsilon</math> نسبت به ''ε'' است.
: <math> \frac{\mathrm{d} J_\varepsilon}{\mathrm{d} \varepsilon} = \frac{\mathrm d}{\mathrm d\varepsilon}\int_a^b F_\varepsilon\, \mathrm{d}x = \int_a^b \frac{\mathrm{d} F_\varepsilon}{\mathrm{d}\varepsilon} \, \mathrm{d}x </math>
از قاعده‌های مشتق تام داریم:
:<math>
\begin{align}
\frac{\mathrm d F_\varepsilon}{\mathrm d\varepsilon} & =\frac{\mathrm d x}{\mathrm d\varepsilon}\frac{\partial F_\varepsilon}{\partial x} + \frac{\mathrm d g_\varepsilon}{\mathrm d\varepsilon}\frac{\partial F_\varepsilon}{\partial g_\varepsilon} + \frac{\mathrm d g_\varepsilon'}{\mathrm d\varepsilon}\frac{\partial F_\varepsilon}{\partial g_\varepsilon'} \\
& = \frac{\mathrm d g_\varepsilon}{\mathrm d\varepsilon}\frac{\partial F_\varepsilon}{\partial g_\varepsilon}+\frac{\mathrm d g'_\varepsilon}{\mathrm d\varepsilon}\frac{\partial F_\varepsilon}{\partial g'_\varepsilon} \\
& = \eta(x) \frac{\partial F_\varepsilon}{\partial g_\varepsilon} + \eta'(x) \frac{\partial F_\varepsilon}{\partial g_\varepsilon'} \ . \\
\end{align}
</math>
بنابراین:
: <math> \frac{\mathrm{d} J_\varepsilon}{\mathrm{d} \varepsilon} = \int_a^b \left[\eta(x) \frac{\partial F_\varepsilon}{\partial g_\varepsilon} + \eta'(x) \frac{\partial F_\varepsilon}{\partial g_\varepsilon'} \, \right]\,\mathrm{d}x \ . </math>
اگر ''ε'' = 0 باشد، در این صورت ''g''<sub>''ε''</sub> = ''f'' ، ''F<sub>ε</sub> = F(x, f(x), f'(x))'' و ''J<sub>ε</sub>''&nbsp; دارای مقدار [[اکسترمم]] می‌باشد:
 
: <math> \frac{\mathrm d J_\varepsilon}{\mathrm d\varepsilon}\bigg|_{\varepsilon=0} = \int_a^b \left[ \eta(x) \frac{\partial F}{\partial f} + \eta'(x) \frac{\partial F}{\partial f'} \,\right]\,\mathrm{d}x = 0 \ .</math>
در گام بعدی از [[انتگرال‌گیری جزء به جزء]] برای جمله‌ی دوم انتگرال‌ده بهره می‌بریم و خواهیم داشت:
 
: <math> \int_a^b \left[ \frac{\partial F}{\partial f} - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \frac{\partial F}{\partial f'} \right] \eta(x)\,\mathrm{d}x + \left[ \eta(x) \frac{\partial F}{\partial f'} \right]_a^b = 0 \ . </math>
 
به کمک شرط‌های مرزیِ <math>\eta (a) = \eta (b) = 0</math> خواهیم داشت:
 
: <math> \int_a^b \left[ \frac{\partial F}{\partial f} - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \frac{\partial F}{\partial f'} \right] \eta(x)\,\mathrm{d}x = 0 \ . \,\!</math>
 
و حال بهره‌گیری از [[لم بنیادین حسابان تغییرات|لم بنیادین حساب وردشی]] به سادگی نتیجه‌ی دلخواهِ ما را به دست می‌دهد:
 
: <math> \frac{\partial F}{\partial f} - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \frac{\partial F}{\partial f'} = 0 \ . </math>
|}
 
== شکل دیگر معادله در یک بعد ==