تفاوت میان نسخه‌های «تابع»

۱۰ بایت حذف‌شده ،  ۴ سال پیش
جز
جز (←‏تابع پوشا: ابرابزار)
:{{دیگر کاربردها}}
[[پرونده:Function behavior.gif|450px|بندانگشتی|چپ|نمودار متحرک رسم تغییرات توابع :<math>
\sqrt[n]{x} = y
</math>
با دامنه:
<math>n=\{2,3,... ,31\}</math> {{برسخ}}<math>x=\{0 ... +1\}</math>{{برسخ}}<math>y=\{0 ... +1\}</math> {{برسخ}} توابع ریشه nام x را نشان می‌دهند. {{برسخ}} عدد متغیر در تصویر معادل n می‌باشد.]]
 
'''تابع''' یکی از مفاهیم [[نظریه مجموعه‌ها]] و [[حساب دیفرانسیل و انتگرال]] است. بطور ساده می‌توان گفت که به قاعده‌های تناظری که به هر ورودی خود یک و فقط یک خروجی نسبت می‌دهند، تابع گفته می‌شود.
تابع به عنوان مفهومی در ریاضیات، توسط [[گوتفرید لایبنیتس]] در سال [[۱۶۹۴ (میلادی)|۱۶۹۴]]، با هدف توصیف یک کمیت در رابطه با یک [[منحنی]] مانند [[شیب]] یک نمودار در یک [[نقطه]] خاص به وجود آمد. امروزه به توابعی که توسط لایبنیز تعریف شدند، [[مشتق|توابع مشتق‌پذیر]] می‌گوییم.
 
واژه تابع بعدها توسط [[لئونارد اویلر]] در [[قرن هجدهم]]، برای توصیف یک گزاره یا فرمول شامل متغیرهای گوناگون مورد استفاده قرار گرفت، مانند ''f''(''x'') = sin(''x'') + ''x''<sup>3</sup>.
 
در طی قرن نوزدهم، ریاضی‌دانان شروع به فرمول بندی تمام شاخه‌های ریاضی براساس [[نظریه مجموعه‌ها]] کردند. [[وایراشتراس]] بیشتر خواهان به وجود آمدن حساب دیفرانسیل و انتگرال در [[ریاضی|علم حساب]] بود تا در [[هندسه]]، یعنی بیشتر طرفدار تعریف اویلر بود.
برای نمونه تناظر شکل ۱ نمایش دهنده یک تابع نمی‌باشد. چراکه عضو ۳ از مجموعه <math>X</math> به ''دو عضو'' (<math>b</math> و <math>c</math>) از <math>Y</math> متناظر شده‌است. اما شکل ۲ نشان دهنده یک تابع است. هر چند که دو عضو گوناگون از مجموعه <math>X</math> به یک عضو خاص از <math>Y</math> نسبت داده شده‌اند.
 
تابع <math>f</math> به عنوان هنجار تناظر، چیزی بجز توصیف نحوه تناظر اعضای <math>A</math> به <math>B</math> نیست که به طور کامل به‌وسیله همه [[زوج مرتب|زوج‌های مرتب]] <math>(a,f(a))</math> برای هر <math>a \in A</math> مشخص می‌شود پس تابع <math>f</math> را می‌توان به عنوان '''مجموعه''' همه این زوجهای مرتب، یعنی مجموعه همه زوج‌های مرتبی که مولفه اول آنها عضو <math>A</math> بوده و مولفه دوم آنها تصویر مولفه اول تحت تابع <math>f</math> در <math>Y</math> است، تعریف کرد. شرط تابع بودن تضمین می‌کند که هیچ دو زوج متمایزی در تابع<math> f</math> دارای مولفه اول یکسان نخواهند بود.
 
در این صورت در تابع <math>f:A \to B</math> برای هر <math>a \in A</math> گزاره <math>(a,b) \in f</math> را به صورت <math>b=f(a)</math> نشان می‌دهیم.
یک تابع از [[مجموعه]] <math>X</math> به مجموعه <math>Y</math> [[رابطه|رابطه‌ای]] چون <math>f</math> از مجموعه <math>X</math> به مجموعه <math>Y</math> است که دارای شرایط زیر باشد:
# [[دامنه (تابع)|دامنه]] <math>f</math> [[مجموعه]] <math>X</math> باشد، یعنی <math>dom f=X</math>.
# برای هر <math>x \in X</math> عنصر '''یگانه''' <math>y \in Y</math> موجود باشد که <math>(x,y) in f</math> یا به عبارتی هیچ دو [[زوج مرتب]] متمایزی متعلق به <math>f</math> دارای مولفه اول یکسان نباشند. شرط یگانگی را به طور صریح می‌توان یه این صورت فرمول بندی کرد که اگر <math>(x,y) \in f</math> و <math>(x,z) \in f</math> آنگاه الزاماً <math> y=z</math>.
 
=== علامت‌ها ===
 
== مشخص کردن تابع ==
برای مشخص کردن یک تابع باید ''دامنه'' و ''ضابطه'' آن را بشناسیم. منظور از ''ضابطه یک تابع''<math> f:X \to Y</math>، فرمول و یا دستوری است که برطبق آن برای هر <math>x \in X</math>، مقدار تابع <math>f</math> در <math>x</math> یعنی <math>f(x)</math> تعیین می‌شود. ضابطه تابع را می‌توان به صورت یک گزاره جبری، مجموعه‌ای از [[زوج مرتب|زوج‌های مرتب]] یا یک [[رابطه بازگشتی]] مشخص کرد.
 
به این ترتیب برای مشخص کردن یک تابع از مجموعه <math>X</math> به مجموعه <math>Y</math> می‌نویسیم <math>f:X \to Y</math> و سپس ضابطه آن را ذکر می‌کنیم.
 
=== دامنه و برد تابع ===
یک تابع f از مجموعه X به توی مجموعه Y را به عنوان نوعی رابطه از مجموعه X به Y تعریف کردیم. مفاهیم ''[[دامنه (تابع)]]'' و ''[[برد]]'' همانگونه که برای [[رابطه|روابط]] در حالت کلی قابل تعریف‌اند، به طریق اولی برای تابع f نیز قابل تعریف خواهند بود. بنا به '''تعریف''' ''دامنه'' تابع f که با dom''f'' نموده می‌شود، همان مجموعه X است. ''برد'' تابع f نیز مجموعه همه عناصری از Y است که تصویر عضوی از X تحت f باشند.
برد تابع f را با ran''f'' یا Im''f'' نشان می‌دهیم. بنابه تعریف داریم:
 
:<math>\mbox{ran}f = \{y\in Y:\exists x(x\in X\land y = f(x))\}</math>
 
اما همانطورهمان‌طور که در گذشته نیز اشاره شد و از تعریف فوق نیز قابل برداشت است، برد f در حالت کلی لزوماً برابر مجموعه Y نمی‌باشد بلکه زیرمجموعه‌ای از آن است. برای تمایز بین مجموعه Y و برد تابع f به مجموعه Y ''[[همدامنه]]'' تابع f می‌گویند و آن را با codom''f'' نشان می‌دهیم و بنا بر آنچه گفته شد، برد تابع زیرمجموعه‌ای از همدامنه‌اش هست.
 
به عنوان مثال فرض کنید {X={۱٬۲٬۳ و {Y={a,b,c,d و تابع f:X→Y به صورت {(f={(۱,a),(۲,b),(۳,c تعریف شده باشد. وضوحاً دامنه این تابع مجموعه X است (می‌توان برای تعیین آن مجموعه همه مولفه‌های اول زوج‌های مرتب f را در نظر گرفت) ولی برد آن بنابه تعریف مجموعه {a,b,c} است که آشکارا زیرمجموعه حقیقی Y است.(یعنی زیرمجموعه آن است ولی با آن برابر نمی‌باشد)
 
در حقیقت برد تابع f مجموعه همه مولفه‌های دوم زوج مرتب‌های f است. مجموعه همه عناصری از Y که به ازای یکx∈X داشته باشیم (y=f(x.
== تساوی دو تابع ==
فرض کنید f:X→Y و g:Z→W دو تابع باشند. در این صورت تساوی f=g، تساوی بین دو [[مجموعه]] است و لذا f=g اگر و فقط اگر اعضای f و g یکسان باشند. یا به عبارتی دو تابع f و g با هم برابرند اگر و تنها اگر دامنه‌شان با هم برابر باشد و برای هر x از دامنه مشترکشان، (f(x)=g(x.
نقاط اشتراک نمودارتابع fوتابع g در [[دستگاه مختصات]] مقدار x رانشان میدهدمی‌دهد که به ازای آن دو تابع برابر اندفرض کنیدیکی از نقاط مورد نظر
نقطه ی( A(X,Y
یاشد این نقطه محل برخورد نمودار دو تابع fوgاست ومحل برخورد نمودار تابعf و نمودار تابعhar که معکوس تابعf نسبت به تابع gاست بنا بر این
دو تابع F,و g زمانی در نقطه اینقطه‌ای مانند A برابر اند که نمودار تابع fونمودارتابع har در نقطه ینقطهٔ A برابر باشند.
 
== تحدید و توسیع ==
فرض کنید f:X→Y یک تابع و A زیرمجموعه‌ای از X باشد. در این صورت یک روش برای ساختن تابعی چون g از مجموعه A به مجموعه Y این است که برای هر g(x)، x∈A را مساوی (f(x تعریف کنیم. یعنی تابع g:A→Y با ضابطه
(g(x)=f(x. بر خواننده‌است که خوش تعریفی این تابع را تحقیق کند. ممکن است راه دیگری نیز برای بیان این مطلب بیابیم و آن این است که دامنه تابع f را به زیرمجموعه A از X تقلیل دهیم. در این صورت تابعی خواهیم داشت که این بار نه بر روی همه اعضای X بلکه فقط بر روی عناصر زیرمجموعه خاصی از X یعنی A اثر می‌کند و لذا دامنه آن از X به A تغییر می‌یابد. چنین تابعی را که همان g است ''تحدید'' تابع f به مجموعه A می‌گوییم و آن را با f|A یا f<sub>|A</sub> نشان می‌دهیم. با این نمادگذاری داریم g=f<sub>|A</sub>. همچنین تابع f را ''توسیع'' تابع g به مجموعه X می‌گوییم.
 
:<math>y\in f(A)\iff \exists x(x\in A\land y=f(x))</math>
 
به عنوان مثال اگر <math>X=\{1,2,3,4,5\}</math> و <math>Y=\{a,b,c,d,e\}</math> و <math>f:X \to Y</math> به صورت:
 
:<math>f=\{(1,a),(2,b),(3,c),(4,d),(5,e)\}</math>
 
== اجتماع توابع-توابع چند ضابطه‌ای ==
بسیار اتفاق می‌افتند که مقدار یک تابع در سراسر دامنه‌اش با یک ضابطه مشخص نمی‌شود مثلاً ممکن است دامنه تابع f که آن را X می‌نامیم را به n مجموعه X<sub>۱</sub>,X<sub>۲</sub>,X<sub>۳</sub>,... ,X<sub>n</sub> [[افراز مجموعه|افراز]] کنیم و تابع f با دامنه X را برای هر x∈X<sub>i</sub> به صورت (f(x)=f<sub>i</sub>(x تعریف کنیم که در آن f<sub>i</sub> تابعی با دامنه X<sub>i</sub> است. همچنین در این صورت می‌توان تابع f را برای هر x از دامنه به صورت زیر نوشت:
 
:<math>f(x)=\begin{cases} f_1(x) &\,x\in X_1\\ f_2(x) &\,x\in X_2\\ \vdots \\ f_n(x)&\, x\in X_n \end{cases}</math>
:<math>\left(f\cup g\right)(x)=\begin{cases} f(x)&\, x\in X \\ g(x)&\, x\in Z \end{cases}</math>
 
برخواننده‌است که خوش تعریفی این تابع را تحقیق کند. این مفهوم را می‌توان گسترش داد یعنی اگر <math>\{A_i\}_{i\in I}</math> خانواده‌ای از مجموعه‌های دو به دو جدا از هم باشد و برای هر f<sub>i</sub>,i∈I تابعی با دامنه A<sub>i</sub> باشد، می‌توان تابع f، اجتماع توابع f<sub>i</sub> برای هر i∈I را با دامنه <math>\cup_{i\in I}A_i</math> را به صورت برای هر x از دامنه به صورت
 
(f(x)=f<sub>i</sub>(x اگر x∈A<sub>i</sub> تعریف کرد. در ادامه نمونه‌هایی از [[توابع چند ضابطه‌ای]] را خواهید دید.
 
== انواع تابع ==
 
=== توابع چندجمله‌ای ===
توابع چند جمله ایجمله‌ای توابعی هستند که فقط دارای x (مجهول) می باشدمی‌باشد و دامنه یدامنهٔ آن مجموعه یمجموعهٔ اعداد حقیقی می باشدمی‌باشد.
 
=== توابع مثلثاتی ===
{{اصلی|تابع‌های مثلثاتی}}
توابع مثلثاتی، تابع‌هایی هستند که [[زاویه]] را به نسبت طول اضلاع آن زاویه در یک [[مثلث قائم‌الزاویه]] مرتبط می‌کنند. توابع [[سینوس (ریاضیات)|سینوس]] و [[کسینوس]] از جمله‌یجملهٔ مهم‌ترین این توابع به شمار می‌روند. [[توابع مثلثاتی]] اهمیت بسیاری در [[ریاضیات کاربردی]] دارند و به خاطر ماهیت تناوبیشان، می‌توانند بسیاری از پدیده‌های تکرارشونده را توصیف کنند.
 
=== توابع متناوب ===
تابع '''ƒ''': '''A''' → '''B''' متناوب یا پریودیک نامیده می شود،می‌شود، اگر عدد ثابتی مانند ''T'' موجود باشد که برای هر x داشته باشیم <math>f(x+T)=f(x)</math> . به ''T'' [[دوره تناوب]] یا پریود گفته می شودمی‌شود.
 
=== تابع همانی ( y=x ) ===
اگر دامنه و برد یک تابع برابر باشند و هر عضو در دامنه دقیقاً به همان عضو در برد نظیر شود، آن تابع را [[تابع همانی]] می‌نامند.
 
=== تابع قدر مطلق ===
تابعی که هر مقدار در دامنه را به قدر مطلق آن در برد نظیر می‌کند، [[تابع قدر مطلق]] نامیده می‌شود. تابع قدر مطلق را با |f(x)=|x نمایش می‌دهند.می‌دهند؛ که خواص مهمی دارند
که خواص مهمی دارند
 
=== تابع ثابت (یعنی به ازای هر x ورودی y ثابت است.) ===
تابع ثابت تابعی است که برد آن تنها شامل یک عضو است.
شکل تابع خطی موازی محور X هاXها است
 
=== تابع پوشا ===
تابع '''ƒ''': '''A''' → '''B''' پوشا نامیده می‌شود اگر برای هر عضو y متعلق به ''B''، حداقل یک عضو x از ''A'' موجود باشد که داشته باشیم <math>y=f(x)</math> .
 
== منابع ==
* {{یادکرد|کتاب=نظریه طبیعی مجموعه‌ها|نویسنده = [[پل ریچارد هالموس]]|ترجمه=عبدالحمید دادالله|ناشر =مرکز نشر دانشگاهی|چاپ=نوبت چاپ|شهر=تهران|سال=۱۳۷۳|شابک=ISBN ۹۶۴-۰۱-۰۰۵۲-۸}}
* {{یادکرد|کتاب=مبانی ریاضیات|نویسنده = ایان استیوارت، دیوید تال|ترجمه=محمد مهدی ابراهیمی|ناشر =مرکز نشر دانشگاهی||شهر=تهران|سال=۱۳۷۶|شابک=ISBN ۹۶۴-۰۱-۰۲۵۳-۹}}
* {{یادکرد|کتاب=نظریه مجموعه‌ها و کاربرد آن|نویسنده =شووینگ تی. لین و یو-فنگ. لین|ترجمه=عمید رسولیان|ناشر =مرکز نشر دانشگاهی||شهر=تهران|سال=۱۳۸۴|شابک=ISBN 964-01-0462-0}}
* {{یادکرد|کتاب=(۱) و (۳))|نویسنده =ریچارد. آ. سیلورمن|ترجمه=دکتر مهدی عیدزاده|ناشر =نشر علمی و فنی}}
</small>