اثر کامپتون: تفاوت میان نسخه‌ها
محتوای حذف‌شده محتوای افزوده‌شده
جز Bot: Removing Link FA template |
F.derakhshan (بحث | مشارکتها) |
||
خط ۸:
:<math>\lambda </math> طول موج فوتون قبل از پراش
:<math>\lambda' </math> طول موج فوتون بعد از پراش
:''m<sub>e</sub>'' جرم الکترون
:''θ'' زاویه تغییر جهت حرکت فوتون
:''h'' ثابت پلانک
خط ۲۰:
=== تشریح و استخراج فرمول تفرق کامپیتون ===
[[پرونده:ComptonEnergy.jpg|بندانگشتی|400px|انرژی یک فوتون 500Kv و بک الکترون بعد از برخورد. (در اثر کامپتون)]]
یک فوتون <math>\gamma</math> با طول موج <math>\lambda</math> با یک الکترون <math>e</math> در یک اتم برخورد
با کمک رابطه <math>E=mc^2</math> و معادله انرژی پلانک و قانون پایستگی انرژی-جرم و پایستگی تکانه،
از معادلات پایستگی انرژی کلی فوتون و الکترون، قبل و بعد از برخود داریم
:<math>E_\gamma + E_e = E_{\gamma'} + E_{e'}. \!</math>
از پایستگی تکانه داریم
:<math>\mathbf{p}_\gamma = \mathbf{p}_{\gamma'} + \mathbf{p}_{e'},</math>
:
انرژی فوتون وابسته به فرکانس فوتون
:<math>E_{\gamma} = hf\!</math>
:<math>E_{\gamma'} = hf'\!</math>
:h ثابت پلانک
پیش از برخورد فوتون با الکترون با در نظر گرفتن حالت سکون برای الکترون، میزان انرژی حالت سکون الکترون از رابطه زیر به دست
:<math>E_e = m_ec^2\!</math>
انرژی الکترون بعد از برخورد فوتون:
سطر ۴۲ ⟵ ۴۱:
:
معادله انرژی قبل و بعد از برخورد
:<math>hf + m_e c^2 = hf' + \sqrt{(p_{e'}c)^2 + (m_e c^2)^2}. \,</math>
از به توان دو رساندن رابطه فوق و چینش مجدد رابطه داریم
:<math>p_{e'}^{\, 2}c^2 = (hf + m_{e}c^2- hf')^2-m_{e}^2c^4. \qquad\qquad (1) \!</math>
از پایستگی تکانه داریم
:<math>\mathbf{p}_{e'} = \mathbf{p}_\gamma - \mathbf{p}_{\gamma'}.</math>
با ضرب اسکالر داریم
:<math>\begin{align}
p_{e'}^{\, 2} &= \mathbf{p}_{e'}\cdot\mathbf{p}_{e'} = (\mathbf{p}_\gamma - \mathbf{p}_{\gamma'}) \cdot (\mathbf{p}_\gamma - \mathbf{p}_{\gamma'}) \\
&= p_{\gamma}^{\, 2} + p_{\gamma'}^{\, 2} - 2 p_{\gamma}\, p_{\gamma'} \cos\theta. \end{align}</math>
دو طرف معادله را در <math>c^2</math> ضرب
:<math>p_{e'}^{\, 2}c^2 = p_{\gamma}^{\, 2}c^2 + p_{\gamma'}^{\, 2}c^2 - 2c^2 p_{\gamma}\, p_{\gamma'} \cos\theta.</math>
پس از جاگذاری تکانه فوتون با <math>h f/c</math> خواهیم داشت
:
:<math>p_{e'}^{\, 2}c^2 = (h f)^2 + (h f')^2 - 2(hf)(h f')\cos{\theta}. \qquad\qquad (2) </math>
حال معادلات
:<math> (hf + m_e c^2-hf')^2 -m_e^{\, 2}c^4 = \left(h f\right)^2 + \left(h f'\right)^2 - 2h^2 ff'\cos{\theta}. ,</math>
:<math> 2 h f m_e c^2 - 2 h f' m_e c^2 = 2 h^2 f f' \left(
دو طرف معادله را بر {{nowrap|<math>(2 h\text{ } f\text{ } f\text{ }' m_e\text{ } c)</math>}} تقسیم
:<math> \frac{c}{f'} - \frac{c}{f} = \frac{h}{m_ec}\left(1-\cos \theta \right). \,</math>
<math>f\lambda = f^\prime\lambda^\prime = c,</math>
معادله تفرق کامپتون به شکل زیر به دست
:<math>\lambda'-\lambda = \frac{h}{m_ec}(1-\cos{\theta}). \, </math>
| |||