آمار فرمی-دیراک: تفاوت میان نسخه‌ها

بدون خلاصۀ ویرایش
(+ {{مکانیک آماری}})
بدون خلاصۀ ویرایش
برچسب‌ها: ویرایشگر دیداری ویرایش همراه ویرایش از وبگاه همراه نیازمند بازبینی
{{مکانیک آماری}}
'''آمار فرمی-دیراک''' یا '''آمار F-D''' بخشی از علم فیزیک است که به توصیف کننده‌ی انرژی ذراتِ تک، در یک سامانه می پردازد، این سامانهسامانه‌ای شاملاز تعداد زیادی ذرهذره‌ی مشابهِیکسان پیروی کننده از [[اصل طرد پاولی]] است. نام فرمی-دیراک پس از [[انریکو فرمی]] و [[پاول دیراک]] که هر دو به صورت جداگانه و هم‌زمان آن را کشف کرده بودند انتخاب شد.
 
آمار فرمی-دیراک در سامانه‌ای با تعادل دمایی، بر ذرات مساوییکسان که گردش ([[اسپین]]) [[نیمه‌صحیح]] دارند اعمال می‌شود. همچنین فرض می‌شود که اندرکنش متقابل ذرات در این سامانه ناچیز است. این باعث می‌شود که بتوان این تعداد زیاد از ذرات را در وضعیت [[حالت پایه|حالت پایهٔپایه‌ی]] یک تک‌ذره توصیف کرد. نتیجهٔنتیجه‌ی توزیع فرمی-دیراک بر روی این ذرات یعنی هیچ دو ذره‌ای نمی‌توانند حالت کوانتومی مشابه هم داشته باشند؛ که این نتیجه‌گیری تاثیر بزرگی بر روی ویژگی‌های سامانه دارد. از آنجایی که آمار فرمی-دیراک بر روی ذراتِ با گردش (اسپین) نیمه‌صحیح اعمال می‌شود، باید این ذرات را [[فرمیون]] خواند. این آمار بیشتر به الکترون‌هایی که خود فرمیون با گردش ۱/۲ اند اعمال می‌شود. آمار فرمی-دیراک خود زیرمجموعه‌ای از [[مکانیک آماری]] است و از اصول [[مکانیک کوانتوم]] پیروی می‌کند.
== پیشینه ==
قبل از معرفی آمار فرمی-دیراک در سال ۱۹۲۶ فهم برخی از جنبه‌های رفتار الکترون به دلیل حضور پدیده‌های به ظاهر متناقض بسیار مشکل بود.
 
== توزیع فرمی-دیراک ==
در سامانه‌ای با فرمیون‌های مساوی، اگریکسان، تعداد متوسط فرمیون‌های با حالت تک‌ذرهتک‌ذره‌ی <math>i</math> در توزیع فرمی-دیراک به شکل زیر بیان می شود:
{{چپ‌چین}}
::<math> \bar{n}_i = \frac{1}{e^{(\epsilon_i-\mu) / k T} + 1} </math>
{{پایان چپ‌چین}}
که ''k'' [[ثابت بولتزمن]] است واست، ''T'' [[دما]]ی مطلق ومطلق، <math>\epsilon_i \ </math> انرژی یک ذره منفرد در حالت ''i'' و <math>\mu\ </math> [[پتانسیل شیمیایی]] است. در ''0=T''، پتانسیل شیمیایی برابر با [[انرژی فرمی]] است. درحالتیدر حالتی که الکترون ها در یک نیمه هادی قرار دارند <math>\mu\ </math> را [[تراز فرمی]] می نامیممی‌نامیم.
 
توزیع فرمی-دیراک زمانی جواب درست می دهدمی‌دهد که تعداد فرمیون هافرمیون‌ها آنقدر زیاد باشد که تغییر <math>\mu\ </math> ناشی از اضافه کردن یک فرمیون قابل صرف نظر کردن باشد. از آنجایی که توزیع فرمی-دیراک از اصل طرد پاولی مشتق شده درنتیجه داریم: <math>0 <\bar{n}_i <1</math><ref>Note that <math> \bar{n}_i </math> is also the probability that the state <math>i</math> is occupied, since no more than one fermion can occupy the same state at the same time and <math>0 <\bar{n}_i <1</math>.</ref>
<center> <gallery Caption="توزیع فرمی-دیراک" widths="400px" heights="200px">
Image:FD e mu.jpg|'''وابستگی به انرژی.''' هرچه ''T'' بالاتر باشد، شیب نمودار ملایم تر است. برای {{nowrap|1=<math> \bar{n}</math> = 0.5}} وقتی {{nowrap|1=<math> \epsilon \;</math> = <math>\mu \; </math>.}} نشان داده نشده است زیرا <math>\mu \ </math> برای ''T'' بالاتر افزایش می‌یابد.<ref name='Kittel1971dist245'>{{harv|Kittel|1971|p=245, Figs. 4 and 5}} </ref>{{سخ}}<center>
</gallery><small>(برای بزرگ کردن عکس با نشانگر خود آن را انتخاب کنید.)</small></center>
=== توزیع ذرات در انرژی ===
توزیع فرمی-دیراک که در بالا ارائه شد، توزیع ذرات مشابهیکسان فرمیون را در انرژی تک ذره بیان می دارد حالتی که گویی تنها یک فرمیون می تواند آن حالت انرژی را داشته باشد. درنتیجهدر نتیجه با استفاده از توزیع فرمی-دیراک می توان توزیع انرژی فرمیونهایفرمیون‌های مشابه را چنان نشان داد که گویی بیش از یک فرمیون می تواند همان انرژی را داشته باشد.
 
تعداد متوسط فرمیونهافرمیون‌ها با انرژی <math>\epsilon_i \ </math> را می توان با ضرب <math> \bar{n}_i \ </math> توزیع فرمی-دیراک در <math> g_i \ </math> (تعداد حالات با انرژی <math>\epsilon_i \ </math>) بدست آورد:
{{چپ‌چین}}
:<math> \begin{alignat}{2}
{{سخ}}
{{پایان چپ‌چین}}
وقتی که <math> g_i \ge 2 \ </math> باشد، امکان دارد که <math>\ \bar{n}(\epsilon_i)> 1 </math> زیرا بیش از یک حالت وجود دارد که می تواند توسط فرمیون هایفرمیون‌های با انرژی <math>\epsilon_i \ </math> اشغال شود.
 
وقتی یک شبه زنجیره انرژی <math> \epsilon \ </math> [[چگالی حالت]] <math> g( \epsilon ) \ </math> دارد (به معنی تعداد حالات در یکای محدوده انرژی در یکای حجم).، تعداد فرمیونهای متوسط در یکای محدوده انرژی در یکای حجم برابر است با:
{{چپ‌چین}}
:<math> \bar { \mathcal{N} }(\epsilon) = g(\epsilon) \ F(\epsilon) </math>
{{پایان چپ‌چین}}
=== کوانتوم و نظام کلاسیک ===
آمار[[توزیع ماکسول-بولتزمانبولتزمن]] به عنوان تقریبی از آمار فرمی-دیراک برای مطالعه سیستم‌های فیزیکی که به اندازه کافی از حد تعیین شده توسط اصل عدم قطعیت هایزنبرگ فاصله دارند بدستبه دست می‌آید. شرایط کلاسیک که در آن آمار ماکسول-بولتزمان معتبر است، زمانی محقق می‌شود که فاصلهفاصله‌ی متوسط میان دو ذره <math> \bar{R} </math>، خیلی بزرگتر از [[موج مادی|طول موج دو برویدوبروی]] <math> \bar{\lambda} </math> باشد.
{{چپ‌چین}}
:<math>\bar{R} \ \gg \ \bar{\lambda} \ \approx \ \frac{h}{\sqrt{3mkT}} </math>
{{پایان چپ‌چین}}
در اینجا <big><math>h</math></big> ثابت پلانک و <big><math>m</math></big> جرم ذره‌استذره‌ است.
در مورد الکترون‌های هادی در یک فلز معمولی در دمای ''300=T'' کلوین (دمای اتاق) سامانه همچنان از نظام کلاسیک دور است زیرا <math> \bar{R} \approx \bar{\lambda}/25 </math> است. این مسئله از جرم کوچک الکترون و تمرکز زیاد الکترون‌های هادی (<math>\bar{R}</math>) در فلز است. بنابراین آمار فرمی-دیراک برای الکترون‌های هادی نوعدر فلز مورد نیاز است.
 
نمونهنمونه‌ی دیکردیگری از سامانه‌ایسامانه‌های کهغیر در نظام کلاسیک قرار ندارد، سامانه‌ای است که ازکلاسیکی، الکترون‌های یک ستاره که متلاشی شده و به یک [[کوتوله سفید|کوتوله‌ی تبدیلسفید]] شده‌استهستند. نامهر برد. هرچندچند که دما در کوتولهکوتوله‌ی سفید بسیار بالا است (حدود 10،000 کلوین در سطح آن) باز به دلیل تمرکز الکترون هادی در آن و جرم بسیار کوچک الکترون در نظام کلاسیک جای نمی‌گیرد و آمار فرمی-دیراک مورد نیاز است.
== دو رویکرد برای بدست آوردن آمار فرمی-دیراک ==
=== بدست آوردن آمار فرمی-دیراک بر مبنای توزیع کانونی ===
 
== یادداشت ==
{{پانویس}}
 
۱۹

ویرایش